Utilizando a equação vetorial r ( t )   =   a   s e n   t ⃗ i   +   b   c o s t ⃗ j onde 0   <   b   <   a , provar que o comprimento L de uma elipse está dada pela integral

L   =   4 a ∫ 0 π / 2 1 - e 2 s e n 2 t   d t ,

onde e = a 2 - b 2 a . O número e é a excentricidade da elipse. Este é um caso particular de uma integral da forma:

E ( k ) =   4 a ∫ 0 π / 2 1 - k 2 s e n 2 t   d t ,

chamada integral elíptica de segunda classe, onde 0   ≤   k   <   1 . Os números E ( k ) estão tabulados para vários valores de k .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva   r ( t )   =   x ⃗ i   +   y ⃗ j é dado pela integral

  L   = ∫ t i t f   ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2   d t

Então vamos montar e calcular essa integral! Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular as derivadas:

d x d t = a   c o s   t

d y d t = - b   s e n   t

Então a integral fica

L   = 4 ∫ 0 π / 2 a 2 c o s 2 t + b 2 s e n 2 t d t

Sendo que aproveitamos a simetria do problema para integrar de 0   ≤   t   ≤   π / 2 e multiplicar o resultado por 4.

Passo 3

Temos que

1 - s e n 2 ( t ) = c o s 2 ( t )

Assim,

L   = 4 ∫ 0 π / 2 a 2 ( 1 - s e n 2 ( t ) ) + b 2 s e n 2 t d t

L   = 4 a ∫ 0 π / 2 1 - ( a 2 - b 2 a 2 ) s e n 2 ( t ) d t

Sendo e = a 2 - b 2 a , então

L   = 4 a ∫ 0 π / 2 1 - e 2 s e n 2 ( t ) d t

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = 4 a ∫ 0 π / 2 1 - e 2 s e n 2 ( t ) d t

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