Determinar em R 4 o comprimento da curva

X t = 10 t 3 ,   36 t 5 2 ,   12 t 5 2 ,   75 t 2 ,     p a r a   1 ≤ t ≤ 5 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o comprimento da curva paramétrica X ( t ) no intervalo de 1 a 5 . Para isso, a gente pode usar a fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b r ' ( t ) d t

Onde [ a ,   b ] é o intervalo considerado e r ' ( t ) é o módulo do vetor representado por equações paramétricas, que é calculado da seguinte forma:

r ' ( t ) = f ' ( x ) 2 + g ' ( x ) 2 + h ' ( x ) 2 + i ' ( x ) 2  

No nosso caso, o vetor r ( t ) é X t = 10 t 3 ,   36 t 5 2 ,   12 t 5 2 ,   75 t 2 e f ,   g ,   h e i representam suas componentes. Então, nós vamos derivar as componentes desse vetor, calcular o módulo dele (elevando as componentes ao quadrado e somando dentro da raiz) e substituir na integral do comprimento da curva.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando X ' ( t ) , derivando as componentes de X ( t ) :

r ' ( t ) = 30 t 2 2 + 90 t 3 2 2 + 30 t 3 2 2 + 150 t 2

Elevando as componentes ao quadrado:

r ' ( t ) = 900 t 4 + 8100 t 3 + 900 t 3 + 22500 t 2

Somando os termos semelhantes:

r ' ( t ) = 900 t 4 + 90 00 t 3 + 22500 t 2

Colocando 900 t 2 em evidência:

r ' ( t ) = 900 t 2 ( t 2 + 1 0 t + 25 )

Tirando da raiz:

r ' ( t ) = 30 t ( t 2 + 10 t + 25 )

Fatorando o termo que ficou dentro da raiz, temos:

r ' ( t ) = 30 t ( t + 5 ) ( t + 5 ) = 30 t t + 5 2

Então, também podemos tirar da raiz:

r ' ( t ) = 30 t ( t + 5 )

Passo 3

Agora vamos substituir o resultado do passo anterior na integral:

L = ∫ a b r ' ( t ) d t

Usando 1 ≤ t ≤ 5 e r ' ( t ) = 30 t ( t + 5 ) :

L = ∫ 1 5 30 t ( t + 5 ) d t

Colocando a constante do lado de fora da integral e expandido o integrando:

L = 30 ∫ 1 5 ( t 2 + 5 t ) d t

Integrando, temos:

L = 30 t 3 3 + 5 t 2 2 1 5

Aplicando os limites de integração:

L = 30 5 3 3 + 5 5 2 2 - 1 3 3 + 5 1 2 2

L = 30 1 25 3 + 1 25 2 - 1 3 - 5 2 = 30 124 3 + 60

E temos nosso comprimento:

L = 3040

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L = 3040

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