Calcule o comprimento das curvas:

( b )   x   = 1 3 y ( y - 3 ) ;   1   ≤   y   ≤   9

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva é dado pela integral

  L   = ∫ y i y f   1 + ( d x d y ) 2   d y

Então vamos montar e calcular essa integral! Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular a derivada da curva:

d x d y = d d y ( 1 3 y ( y - 3 ) ) = 1 3 d d y ( y 3 2 - 3 y 1 2 ) = 1 2 y 1 2 - 1 2 y 1 2

Então a integral fica

L   = 1 2 ��� 1 9   4 + ( y 1 2 - 1 y 1 2 ) 2   d y

note que podemos reescrever

4 + ( y 1 2 - 1 y 1 2 ) 2 = 4 + y - 2 + 1 y = y + 2 + 1 y = ( y 1 2 + 1 y 1 2 ) 2

Assim,

L   = 1 2 ∫ 1 9   ( y 1 2 + 1 y 1 2 ) 2   d y = 1 2 ∫ 1 9 ( y 1 2 + 1 y 1 2 ) d y

Resolvendo as integrais e aplicando os limites,

L   = 1 2   ( 2 y 3 2 3 + 2 y 1 2 ) | 1 9 = ( 9 3 2 3 + 9 1 2 - 1 3 - 1 )

L   = ( 12 - 4 3 ) = 32 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = 32 3 .

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