Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.

( e )   r ( t )   =   s e n   t ⃗ i   +   t ⃗ j   +   ( 1   −   c o s   t )   ⃗ k ,   0   ≤   t   ≤   2 π .  

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva   r ( t ) = ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) )   é dado pela integral

  L   = ∫ t i t f   ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2   d t

Então vamos montar e calcular essa integral para

r ( t ) =   ( s e n   t ,   t ,   ( 1   −   c o s   t ) ) ,   0   ≤   t   ≤   2 π .

Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular as derivadas:

d x d t = d d t ( s e n   t ) = c o s   t

d y d t = d d t ( t ) = 1

d z d t = d d t (   1 - c o s   t ) =   s e n   t

Então a integral fica

L   = ∫ 0 2 π ( c o s   t ) 2 + ( 1 ) 2 + ( s e n   t ) 2 d t

Passo 3

Temos que

c o s 2 ( t ) + s e n 2 ( t ) = 1

Assim,

L   = ∫ 0 2 π 1 + 1 d t L   = 2 ∫ 0 2 π d t

Resolvendo essa integral e aplicando os limites:

L   = 2 ( t ) | 0 2 π = 2 ( 2 π - 0 ) = 2 2 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = 2 2 π .

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