Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2009.2 – 5

A entrada de um dos estádios para as Olimpíadas de 2016 tem a forma da figura abaixo, e é constituída por 2 tubos circulares na forma de arco de curvas C 1 e C 2 , iluminados internamente com as cores dos países participantes. O custo estimado para estes tubos é de R $   10.000,00 por metro. A curva C 1 é determinada por: y = 3 x 2 3 e a curva C 2 por: y = 3 16 - x 2 3 . Determine o custo total desta obra.

Passo 1

O problema pede o custo da obra. O custo é dado por metro, ou seja, para calcularmos o custo, precisamos saber o comprimento dos arcos. Logo, trata-se de um problema sobre comprimento de arcos. O enunciado nos deu as fórmulas e os limites de integração no desenho. Estamos com a faca e o queijo na mão. Vamos lá.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esse problema tem um “pulo do gato”!

Não precisamos calcular o comprimento de C 1 E de C 2 . Olhe para as fórmulas:

y = 3 x 2 3 e y = 3 16 - x 2 3

Repare que a diferença é só a substituição de x por 16 - x . Isso acontece porque C 2 é C 1 espelhada. Portanto, os arcos são simétricos e possuem o mesmo comprimento.

Vamos calcular só o comprimento de C 1 e multiplicá-lo por 2 . Depois, basta multiplicar pelo custo por metro para acharmos o custo total.

A fórmula para calcularmos o comprimento de um arco é:

∫ a b 1 + d y d x 2 d x

Passo 3

Curva C 1 :

y = 3 x 2 3

d y d x = 3 ⋅ 2 3 ⋅ x - 1 3 = 2 x - 1 3

∫ 0 8 1 + 4 x - 2 3 d x

Essa integral parece ser muito difícil de ser calculada. Vamos tentar usar o método x = f ( y ) :

y = 3 x 2 3 → x 2 3 = y 3 → x = y 3 2 3 3 2

d x d y = 1 3 3 2 3 2 y 1 2 = 1 2 3 y 1 2

x = 0 → y = 0

x = 8 → y = 12

∫ 0 12 1 + 1 2 3 y 1 2 2 d y = ∫ 0 12 1 + 1 12 ⋅ y d y

Fazendo a substituição u = 1 + 1 12 y → d u = 1 12 d y → d y = 12 d u

y = 0 → u = 1

y = 12 → u = 2

Aplicando:

∫ 1 2 u ⋅ 12 d u = 12 ∫ 1 2 u 1 2 d u = 12 ⋅ 2 3 u 3 2 1 2 =

= 8 2 2 - 1

Logo o custo total será:

C = 2 ⋅ 8 2 2 - 1 ∙ 10000 = 292548,34   reais

Obs:

Nesse problema, tivemos que calcular em função de y , já que facilitou muito o cálculo da integral. Portanto, se você estiver em um problema de comprimento de arco e cair em uma integral enrolada de calcular, tente fazer em relação a y para ver se a situação melhora!

Resposta

O custo será de

292548,34   reais .

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