Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

1. Se f : 1,4 → R é derivável com derivada contínua e x - 1 ≤ f ' x 2 ≤ x 2 - 1 , para todo x   ∈ 1,4 . Então, o comprimento do gráfico de f é, no mínimo, 14 3 .

2. Se f ,   g : a , b → R são contínuas e ∫ a b g x d x = 0 então ∫ a b f x g x d x = 0 .

3. Se f : R → R é uma função contínua e ímpar f - x = - f x ,   então qualquer primitiva de f é par.

4. Se f : a , b → R é contínua então existe c ] a , b [ tal que ∫ a b f x d x = f c b - a .

Passo 1

1. Verdadeira

Para calcularmos o comprimento do arco fazemos

∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Observa que a questão já nos deu justamente o f ' x 2 , que sabemos estar entre x - 1   e   x 2 - 1 .

A questão nos diz ainda que ela tem terá no mínimo o comprimento de 14 3 . Bom, vamos usar então a menor função para calcular seu valor mínimo.

∫ 1 4 1 + x - 1 d x

∫ 1 4 x d x

2 3 x 3 2 1 4 = 14 3

Passo 2

2. Falsa

Observa que onhecemos a integral afunção seno, variando de z e r o   a   2 π

∫ 0 2 π s e n x d x = 0

No então, se multiplicamos ela por um exponencial, encontramos um valor diferente de zero.

∫ 0 2 π e x s e n x d x = e x 2 s e n x - cos ⁡ x 0 2 π ≠ 0

Caso você queria, para resolver essa integral fazemos a integração por artes, chamando o seno de u .

Passo 3

3. Verdadeiro

Tomemos por exemplo a função x 3 . Ela é uma função ímpar. Como ao encontrar a primitiva nós sempre subimos o grau em 1 unidade, sabemos que vira automaticamnete uma função par.

Passo 4

4. Verdadeiro

To teorema do valor médio sabemos que

f c = F b - F ( a ) b - a

Sabemos ainda que caso a gente resolva aqula integral do enunciado, pelo teorema fundamental do calculo, temos

∫ a b f x d x = F b - F a

Multiplicando ambos os lados por 1 b - a

1 b - a ∫ a b f x d x = F b - F ( a ) b - a

Isso é justamente a igualdade que tínhamos acima.

1 b - a ∫ a b f x d x = f c

Logo

∫ a b f x d x = f c b - a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1