Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

Calcule o comprimento do gráfico de y = ln ⁡ cos ⁡ x em 0 , π 4 .

Passo 1

Aplicando a fórmula, o comprimento é:

L = ∫ 0 π 4 1 + y ' x 2 d x

Então vamos derivar y x . Pela regra da cadeia:

y ' x = 1 cos ⁡ x - sen ⁡ x = - tg ⁡ x

Passo 2

Portanto:

L = ∫ 0 π 4 1 + - tg ⁡ x 2 d x = ∫ 0 π 4 1 + tg 2 ⁡ x d x

Agora é hora de lembrar daquela identidade trigonométrica:

1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Logo,

L = ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x d x = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x d x

Mas repara que em 0 , π 4 :

cos ⁡ x > 0 ⇒ sec ⁡ x > 0 ⇒ sec ⁡ x = sec ⁡ x

Então:

L = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x d x

Passo 3

Essa integral a gente sabe calcular:

L = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x 0 π 4 = ln ⁡ sec ⁡ π 4 + tg ⁡ π 4 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tg ⁡ 0

L = ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 1 + 0 = ln ⁡ 2 + 1 - 0

⇒ L = ln ⁡ 2 + 1

Só uma curiosidade idiota:

ln ⁡ 2 + 1 = arcsenh ⁡ 1

Resposta

ln ⁡ 2 + 1

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