Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares.

c) ρ = 1 + cos ⁡ θ ,   0 ≤ θ ≤ π

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos o comprimento da curva dada em coordenadas polares:

ρ = 1 + cos ⁡ θ ,   0 ≤ θ ≤ π

Para isso, devemos saber que a fórmula para o comprimento de uma curva C em coordenadas polares é:

C = ∫ a b ρ 2 + d ρ d θ 2 d θ

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Dessa forma, com base nos dados do enunciado, temos:

ρ 2 = 1 + cos ⁡ θ 2 ∴

ρ 2 = 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

E

d ρ d θ = - sin ⁡ θ

Logo, substituindo na integral e aplicando o intervalo 0 ≤ θ ≤ π que foi dado, temos:

∫ 0 π 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ d θ

Vamos relembrar da seguinte identidade trigonométrica:

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Assim, na integral, temos:

∫ 0 π 2 + 2 cos ⁡ θ d θ

Resolvendo a integral fazendo θ = 2 u ∴ d u = 2 d θ e adaptando os limites de integração, temos:

∫ 0 π 2 2 1 + cos ⁡ 2 u d u ∴

Temos que:

1 + cos ⁡ 2 u = 2 cos 2 ⁡ u

Logo:

2 ∫ 0 π 2 4 cos 2 ⁡ u d u ∴

= 4 ∫ 0 π 2 cos ⁡ u d u ∴

= 4 * sin ⁡ u π 2 0 ∴

= 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

4

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