Calcule o comprimento do arco enunciado abaixo:

y = arccos ⁡ ( e x ) ,                     0 ≤ x ≤ ln ⁡ 1 2

Passo 1

Sério cara, seus pais já devem ter te ensinado a ser humilde né. Então me diz: Você realmente lembrar a derivada do arco-cosseno? Pode até ser que sim, mas a essa altura do campeonato é foda de recordar de absolutamente tuuudo por aí.

Agora vem a boa: quem disse que precisamos dessa derivada para matar a questão, heim?

A função está escrota; os limites estão escrotos; por que não mudamos tudo e integramos para y , e não para x ?

y = arccos ⁡ ( e x )

cos ⁡ y = e x

x = ln ⁡ cos ⁡ y

Ok, também não está nada bonito, mas pelo menos você deve lembrar mais facilmente da derivada do ln ⁡ x e do cos ⁡ x . E os limites? Bom, joga na equação e pronto, descobre os novos:

y 0 = arccos ⁡ e 0 = arccos ⁡ 1 = 0      

(ou qualquer múltiplo inteiro de   2 π )  

y ln ⁡ 1 2 = arccos ⁡ e ln ⁡ 1 2 = arccos ⁡ 1 2 = π 3

( ou   π 3   mais qualquer múltiplo inteiro de   2 π )

Bom, como você tem que pegar um intervalo que cresça do primeiro para o segundo esse deve ser qualquer intervalo com essa cara:

0 + 2 π . k ≤ y ≤ π 3 + 2 π . k

( onde   k   é qualquer múltiplo inteiro )

Vou pegar o mais óbvio, mas tanto faz:

0 ≤ y ≤ π 3           ;           ( k = 0 )

Bem melhor esse limite aí!

Passo 2

Agora caímos no passo-a-passo de sempre:

x ' = f ' y = d ln ⁡ cos ⁡ y d y = cos ⁡ y ' cos ⁡ y = - sen ⁡ y cos ⁡ y = - tg ⁡ y

O termo a ser integrado agora:

1 + f ' y 2 = 1 + - tg ⁡ y 2 = 1 + tg 2 ⁡ y

Opa! Existe uma relação fundamental aí, né?

1 + tg 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y

1 + tg 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y = sec ⁡ y

Ok, agora é integrar!

L = ∫ a b 1 + f ' y 2 d y = ∫ 0 π / 3 sec ⁡ y d y

Essa é uma integral que também é meio chata de lembrar, mas vou te elucidar:

∫ sec ⁡ y = ln ⁡ sec ⁡ y + tg ⁡ y

Aplicando agora os limites:

ln ⁡ sec ⁡ π 3 + tg ⁡ π 3 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tg ⁡ 0 = ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 1 + 0 = ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 1

= ln ⁡ 2 + 3

Acabou!

Resposta

L = ln ⁡ 2 + 3

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Ache o comprimento da curva. y = 3 + 1 2 cosh ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ 1