Calcule o comprimento das curvas dadas no intervalo dado:

a) y = 1 12 x 3 + 1 x , 1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o comprimento da curva y = 1 12 x 3 + 1 x no intervalo [ 1 ,   2 ] . Fazer isso é molezinha quando a gente conhece a fórmula do comprimento de arco, que é dada por:

c = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Onde a ,   b é o intervalo considerado e f ' ( x ) é a derivada da função f x = 1 12 x 3 + 1 x . Então, basta a gente substituir todo mundo e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral, vamos ter:

c = ∫ 1 2 1 + f ' x 2 d x

Derivando f ( x ) , temos:

f ' x = 1 12 x 3 + 1 x ' = x 2 4 - 1 x 2

Então, fica:

c = ∫ 1 2 1 + x 2 4 - 1 x 2 2 d x

c = ∫ 1 2 x 4 + 8 x 4 + 16 16 x 4 d x

Tirando a raiz em cima e embaixo:

= ∫ 1 2 x 4 + 8 x 4 + 16 16 x 4 d x

∫ 1 2 ( x 2 + 2 x + 2 ) ( x 2 - 2 x + 2 ) 4 x 2 d x

Simplificando, temos:

1 4 ∫ 1 2 x 2 + 4 x 2 d x

Passo 3

Agora ficou mais fácil integrar né? Basta usar a regra da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ):

1 4 x 2 + 1 2 + 1 + 4 x - 2 + 1 - 2 + 1 1 2

1 4 x 3 3 - 4 x 1 2

Aplicando os limites de integração:

1 4 2 3 3 - 4 2 - 1 3 3 + 4 1

= 1 4 8 3 - 2 - 1 3 + 4 = 1 4 7 3 + 2

= 13 12

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c = 13 12

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Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1