Calcule o comprimento das curvas:

( d )   y = l n ( c o s   x ) ,   0   ≤   x   ≤   π 3

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva é dado pela integral

  L   = ∫ x i x f   1 + ( d y d x ) 2   d x

Então vamos montar e calcular essa integral! Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular a derivada da curva:

d y d x = - s e n   x c o s   x

Então a integral fica

L   = ∫ 0 π 3   1 + s e n 2 x c o s 2 x   d x

note que podemos reescrever

1 + s e n 2 x c o s 2 x = c o s 2 x + s e n 2 x c o s 2 x = 1 c o s 2 x = s e c 2 x

Assim,

L   = ∫ 0 π 3   s e c 2 x   d x = ∫ 0 π 3   s e c   x   d x

Essa integral é tabelada,

L   = ∫ 0 π 3   s e c   x   d x = l n ( s e c   x   + t a n   x ) | 0 π 3 = l n ( s e c   π 3 + t a n π 3   )

L   = l n ( 3 + 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = l n ( 3 + 2 ) .

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