21) As coordenadas ( x G , y G ) do centro de gravidade de um arco de curva (homogêneo) são dadas por

x G = ∫ x d s s y G = ∫ y d s s  

Em que s = ∫ d s é o comprimento do arco. Calcule as coordenadas do centro de gravidade dos arcos abaixo:

  1. Arco de circunferência de raio a subtendo o ângulo 2 α

Passo 1

Fala aí pessoal! Tudo bem? Esse é um probleminha de comprimento de arcos usando as integrais. No fundo ele quer que a gente resolva essas três integrais aqui:

s = ∫ d s   x G = ∫ x d s s y G = ∫ y d s s

Que doideira, né? Mas calma!! Aqui a gente lembra que em comprimento de arcos, aquele d s ali tem uma cara conhecida. Se conseguimos escrever y como função de x , ele tem essa cara aqui: d s = 1 + y ' x 2 d x

Onde y ' x é a derivada da função y em relação a x . E aí a nossa integração vai ser em x .  

Mas... uma última dica é que se tivermos uma curva em que podemos escrever x e y como função de um parâmetro t (geralmente problemas que envolvem círculos 😊) o d s é: d s =   x ' t 2 + y ' t 2 d t

Então vamos lá montar o nosso problema!

Passo 2

Vamos começar calculando s . Para isso, vale a pena a gente escrever essa curva em coordenadas polares: x t = a cos ⁡ t y t = a sen ⁡ t

Como é um semicírculo, temos 0 ≤ t ≤ 2 α . Com isso e usando d s para curvas parametrizadas:

d s =   x ' t 2 + y ' t 2 d t temos que resolver então essa integral daqui: s = ∫ 0 2 α a cos ⁡ t ' 2 + a sen ⁡ t ' 2 d t s = ∫ 0 2 α - a   s e n   t 2 + a cos ⁡ t 2 d t =   ∫ 0 2 α a 2 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t   d t s =   ∫ 0 2 α a d t = 2 a α

Beleza!

Passo 3

Agora vamos calcular a coordenada x G ! Para isso, temos que resolver então essa integral daqui: x G =   ∫ x d s s x G = 1 2 a α ∫ 0 2 α a cos ⁡ t a cos ⁡ t ' 2 + a sen ⁡ t ' 2 d t x G = 1 2 a α ∫ 0 2 α a 2 cos ⁡ t d t

Arrumando um pouco a integral temos: x G = a 2 α ∫ 0 2 α cos ⁡ t d t  

Que maravilhaaa! Agora temos uma integral bem mais simples para resolver, resolvendo ela, temos: x G = a 2 α s e n   2 α

Passo 4

Agora vamos calcular a coordenada y G . Da mesma maneira que x G temos que resolver essa integral daqui: y G =   ∫ y d s s

Usando as coordenadas polares temos: y G = 1 2 a α ∫ 0 2 α a sen ⁡ t a cos ⁡ t ' 2 + a sen ⁡ t ' 2 d t =   a 2 α ∫ 0 2 α sen ⁡ t d t

Que maravilhaaa! Agora temos uma integral bem mais simples para resolver, resolvendo essa integral temos: y G = a 2 α cos ⁡ 0 - cos ⁡ 2 α y G = a 2 α 1 - cos ⁡ 2 α

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

x G = a 2 α s e n   2 α y G = a 2 α 1 - cos ⁡ 2 α

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Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva.y = ln ( sec x ) , 0 = x = pi // 4
Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1