Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

d )   h x = x 2 ,   x ∈ 0 , 1 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função

h x = x 2

E pediu o comprimento de arco

Pergunta de milhões: Como achar esse valor?

A fórmula do comprimento de arco é a seguinte

c = ∫ 1 + f ' d x

Belê?

Então é isso que vamos fazer! A ideia é usar a fórmula do arco, mas com a função dada no problema! E aí é #partiu integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O comprimento de arco é

c = ∫ 1 + f ' d x

f = h x = x 2

f ' = h ' = 2 x

Agora vamos substituir na integral

c = ∫ 0 1 / 2 1 + 4 x 2 d x

Vamos resolver a indefinida e por fim aplicar os limites!

Beleza?

Antes de mais nada: vamos fazer uma mudança de variáveis

u = 2 x → d u 2 = d x

Assim nossa integral indefinida fica assim

∫ 1 + u 2 2 d u

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Fazendo por substituição trigonométrica

u = tan ⁡ θ

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Temos

∫ 1 + u 2 2 d u = 1 2 ∫ 1 + tan 2 ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Tudo bem até aqui?

Sabemos que ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ , aí nossa integral fica

= 1 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Agora precisamos retornar para x

u = 2 x = tan ⁡ θ

Assim c a t . o p o s t o = 2 x + 1 ,   c a t . a d j = 1 . E a hipotenusa

h i p 2 = 2 x + 1 2 + 1

sec ⁡ θ = 2 x 2 + 1

Assim nossa integral fica

1 4 2 x 4 x 2 + 1 + ln ⁡ 2 x + 4 x 2 + 1 0 1 2

E por fim vamos aplicar nos limites

1 4 2 . 1 2   4 1 2 2 + 1 + ln ⁡ 2 . 1 2 + 4 1 2 2 + 1 - 1 4 2 . 0 4 . 0 2 + 1 + ln ⁡ 2 . 0 + 4 . 0 2 + 1

Simplificando temos

= 1 4 2 + ln ⁡ 1 + 2 - 1 4 ln ⁡ 1

E por fim

1 4 2 + ln ⁡ 1 + 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1 4 2 + ln ⁡ 1 + 2

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Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
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Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1