Consideremos a espiral r = f θ = θ 2 ( θ ≥ 0 ) . Determinar o comprimento s ( α ) desta curva para 0 ≤ θ ≤ α como função de α . Calcular s 21 . Determinar α de tal maneira que s α = 335 3 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o comprimento da curva r = θ 2 , no intervalo [ 0 ,   α ] , e depois usar a função de α que encontraremos para determinar s 21 e s α = 335 3 .

Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas polares:

s = ∫ a b r 2 + d r d θ 2 d θ

Assim, vamos substituir os dados do enunciado na integral e calcular o comprimento s ( α ) da curva.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando r = θ 2 em relação a θ :

d r d θ = 2 θ

Substituindo r = θ 2 , o intervalo [ 0 ,   α ] e d r d θ = 2 θ na integral, temos:

s = ∫ a b r 2 + d r d θ 2 d θ

s = ∫ 0 α ( θ 2 ) 2 + 2 θ 2 d θ

Elevando ao quadrado:

s = ∫ 0 α θ 4 + 4 θ 2 d θ

Colocando θ 2 em evidência:

s = ∫ 0 α θ 2 ( θ 2 + 4 ) d θ

s = ∫ 0 α θ ( θ 2 + 4 ) d θ

Passo 3

Pra resolver essa integral, vamos chamar u = θ 2 + 4 . Dessa forma, temos:

d u = 2 θ   d θ → d u 2 = θ   d θ

Substituindo na integral:

s = 1 2 ∫ 0 α u   d u = 1 2 ∫ 0 α u 1 / 2   d u

Agora podemos usar a regra da potência para integrar ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ):

s = 1 2 2 3 u 3 / 2 0 α = 1 3 u 3 / 2 0 α

Antes de aplicar os intervalos de integração, vamos voltar pra nossa variável inicial, usando u = θ 2 + 4 :

s = 1 3 ( θ 2 + 4 ) 3 / 2 0 α = 1 3 θ 2 + 4 3 0 α

Aplicando os intervalos:

s = 1 3 α 2 + 4 3 - 1 3 0 2 + 4 3

s = 1 3 α 2 + 4 3 - 8 3

Passo 4

Agora vamos encontrar s 21 e s α = 335 3 . Primeiro substituindo α = 21 na função s :

s 21 = 1 3 ( 21 ) 2 + 4 3 - 8 3

s 21 = 1 3 28 3 - 8 3

Passo 5

Agora fazendo s α = 335 3 , temos:

335 3 = 1 3 α 2 + 4 3 - 8 3

Colocando 1 3 em evidência:

1 3 335 = 1 3 α 2 + 4 3 - 8

α 2 + 4 3 - 8 = 335

α 2 + 4 3 = 343

Tirando a raiz cúbica dos dois lados:

α 2 + 4 = 7

Agora elevando os dois lados ao quadrado:

α 2 + 4 = 7

Isolando α :

α 2 = 3

α = ± 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

s = 1 3 α 2 + 4 3 - 8 3

s 21 = 28 3 - 8 3

α = ± 3

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