Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

e )   p x = cos ⁡ x ,   x ∈ 0 , π 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função

p x = cos ⁡ x

E pediu o comprimento de arco

Pergunta de milhões: Como achar esse valor?

A fórmula do comprimento de arco é a seguinte

c = ∫ 1 + f ' 2 d x

Belê?

Então é isso que vamos fazer! A ideia é usar a fórmula do arco, mas com a função dada no problema! E aí é #partiu integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O comprimento de arco é

c = ∫ 1 + f ' 2 d x

f = p x = cos ⁡ x

f ' = p ' = - sin ⁡ x

E elevando ao quadrado e somando uma unidade temos temos

f ' 2 + 1 = 1 - sin 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x

E nosso integrando fica assim

1 + f ' 2 = cos 2 ⁡ x = cos ⁡ x

Tudo bem até aqui?

Agora vamos substituir na integral

c = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Precisamos resolver essa integral definida

c = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x = sin ⁡ x 0 π / 2

Tudo bem até aqui?

Aplicando os limites

c = sin ⁡ x 0 π / 2 = sin ⁡ π 2 - sin ⁡ 0 = 1

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Conforme a figura abaixo, uma viga horizontal com dimensões 2 pol × 6 pol × 16 pés (12 pol = 1 pé) fixada nos dois extremos é sujeita a uma carga uniformemente distribuída de 120 lb/pé. Como resultado
Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva.y = ln ( sec x ) , 0 = x = pi // 4
Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1