Mostre que o comprimento da curva y   =   1 4 e x   +   e - x em qualquer intervalo é igual ao valor da área da região limitada pela curva.

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva é dado pela integral

  L   = ∫ x i x f   1 + ( d y d x ) 2   d x

também temos que a área é dada por

A   = ∫ x i x f   y   d x

então para verificar se são iguais, vamos montar essas integrais! Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular a derivada da curva:

d y d x = 1 4 e x   -   e - x

Então a integral fica

L   = ∫ x i x f   1 + 1 16 e 2 x   - 1 2 +   e - 2 x   d x

note que podemos reescrever

1 2 + 1 16 e 2 x   +   e - 2 x = ( 1 4 e x   +   e - x ) 2

Assim,

L   = ∫ x i x f   ( 1 4 e x   +   e - x )   d x

Passo 3

Olhando para a integral que nos dá a área

A   = ∫ x i x f   y   d x = ∫ x i x f   ( 1 4 e x   +   e - x )   d x

Então chegamos na igualdade

A   = ∫ x i x f   ( 1 4 e x   +   e - x )   d x = L

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

Exercícios de Livros Relacionados

Conforme a figura abaixo, uma viga horizontal com dimensões 2 pol × 6 pol × 16 pés (12 pol = 1 pé) fixada nos dois extremos é sujeita a uma carga uniformemente distribuída de 120 lb/pé. Como resultado
Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva.y = ln ( sec x ) , 0 = x = pi // 4
Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1