Demonstrar que o comprimento da curva y   =   c o s h   x   que une os pontos ( 0 ,   1 ) e ( a ,   c o s h   a ) é s i n h   a se a   >   0 .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva é dado pela integral

  L   = ∫ x i x f   1 + ( d y d x ) 2   d x

Então vamos montar e calcular essa integral! Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular a derivada:

d y d x = s e n h ( x )

Então a integral fica

L   = ∫ 0 a   1 + ( s e n h ( x ) ) 2   d x

Temos que

1 + s e n h 2 ( x ) = c o s h 2 ( x )

Assim,

L   = ∫ 0 a   c o s h ( x )   d x

Vamos calcular essa integral simples e aplicar os limites de integração:

L = ∫ 0 a   c o s h ( x )   d x = s e n h ( x ) | 0 a = s e n h ( a ) .

Assim, demonstramos que o comprimento da curva é s e n h ( a ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = s e n h ( a ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Conforme a figura abaixo, uma viga horizontal com dimensões 2 pol × 6 pol × 16 pés (12 pol = 1 pé) fixada nos dois extremos é sujeita a uma carga uniformemente distribuída de 120 lb/pé. Como resultado
Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva.y = ln ( sec x ) , 0 = x = pi // 4
Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1