Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.

( k )   r ( t )   = ∫ 1 t   c o s   u 2 u   d u ⃗ i   +   ∫ 1 t   s e n   u 2 u   d u   ⃗ j   +   4 t   ⃗ k ,   1   ≤   t   ≤   4 .  

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva   r ( t ) = ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) )   é dado pela integral

  L   = ∫ t i t f   ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2   d t

Então vamos montar e calcular essa integral para

r ( t ) =   (     ∫ 1 t   c o s   u 2 u   d u ,     ∫ 1 t   s e n   u 2 u   d u , 4 t ) , 1 ≤   t   ≤   4 .

Como teremos que tomar a derivada dessas integrais, vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo, que nos diz:

d d t ∫ g ( t ) u ( t ) f ( x )   d x = f ( u ( t ) ) d u d t - f ( g ( t ) ) d g d t .

Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular as derivadas, lembrando que vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo:

d x d t = d d t ( ∫ 1 t   c o s   u 2 u   d u ) = c o s   t 2 t  

d y d t = d d t ( ∫ 1 t   s e n   u 2 u   d u ) = s e n   t 2 t

d z d t = d d t   ( 4 t ) = 2 t

Então a integral fica

L   = ∫ 1 4 ( c o s   t 2 t ) 2 + ( s e n   t 2 t ) 2 + ( 2 t ) 2 d t

Passo 3

Lembrando que,

c o s 2 t + s e n 2 t = 1

Assim,

L   = ∫ 1 4 1 2 t + 4 t d t = ∫ 1 4 9 2 t d t = 3 2 ∫ 1 4 t - 1 2 d t

Resolvendo essa integral e aplicando os limites:

L   = 6 2 (   t 1 2 ) | 1 4 = 6 2 (   4 - 1 ) = 6 2 = 3 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = 3 2 .

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