Encontre o ponto da curva espacial

r → ( t ) = 5   s e n ( t )   i → + 5   c o s ( t ) j →   + 12 t   k →

situado a uma distância de 26 π unidades ao longo da curva a partir do ponto ( 0,5 , 0 ) na direção do comprimento de arco crescente.

Passo 1

Eaew, tudo bem?

O enunciado nos dá a seguinte curva

r → ( t ) = 5   s e n ( t )   i → + 5   c o s ( t ) j →   + 12 t   k →

e nos pede para calcularmos um ponto, escrito na forma ( x , y , z ) = ( 5   s e n ( t ) ,   5 c o s ( t ) ,   12 t ) em que a distância do ponto ( 0,5 , 0 ) ao longo do arco formado pela curva seja dada por 26 π . Como fazer isso? O enunciado nos deu o comprimento de arco de um segmento dessa curva, portanto, faz sentido usarmos a definição de comprimento de arco como

L = ∫ a b ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 d t

precisamos identificar quais são os limites de nossa integração e calcular estas derivadas! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, temos que a é o valor de t , em nosso ponto inicial, ou seja, temos que

( 5   s e n ( a ) ,   5   c o s ( a ) ,   12   a ) = ( 0,5 , 0 )

Note que isso é verdade quando a = 0 , para resolver iremos precisar encontrar um valor b = t , para que L = 26 π , portanto, precisamos resolver

26 π = ∫ 0 t ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 d t

As derivadas são bastante diretas! Saca só!

Passo 3

Temos primeiro duas derivadas conhecidas como

d x d t = 5 d d t [ s e n ( t ) ] = 5   c o s ( t )

e

d y d t = 5 d d t [ c o s ( t ) ] = - 5   s e n ( t )

precisamos também usar a regra do tombo

d d t [ t n ] = n   t n - 1

para calcular

d z d t = 12 d d t [ t ] = 12

Usando todas estas derivadas, podemos escrever que

26 π = ∫ 0 t ( 5   c o s ( t ) ) 2 + ( 5   s e n ( t ) ) 2 + ( 12 ) 2 d t

Estamos quase lá! Vamos só reescrever um pouco o nosso radicando! Vem comigo!

Passo 4

Avaliando os quadrados, temos que

26 π = ∫ 0 t 25   c o s 2 ( t ) + 25   s e n 2 ( t ) + 144 d t

note que também podemos colocar 25 em evidência, e usar que c o s 2 ( t ) + s e n 2 ( t ) = 1 , de forma que temos

26 π = ∫ 0 t 25 + 144 d t = ∫ 0 t 169 d t

lembrando que 169 = 13 , e resolvendo a seguinte integral

∫ 0 t d t = t | 0 t = t

Podemos escrever

26 π = 13 t

Portanto, temos que t = 2 π . Mas, que ponto obtemos quando t = 2 π , temos que

( 5   s e n ( 2 π ) ,   5   c o s ( 2 π ) ,   12 ( 2 π ) ) = ( 0,5 , 24 π )

Essa é a nossa resposta final! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( x , y , z ) = ( 0,5 , 24 π )

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