21) As coordenadas ( x G , y G ) do centro de gravidade de um arco de curva (homogêneo) são dadas por

x G = ∫ x d s s y G = ∫ y d s s  

Em que s = ∫ d s é o comprimento do arco. Calcule as coordenadas do centro de gravidade dos arcos abaixo:

  1. Arco da catenária y = a cosh ⁡ x a para x ∈ [ - a , a ]

Passo 1

Fala aí pessoal! Tudo bem? Esse é um probleminha de comprimento de arcos usando as integrais. No fundo ele quer que a gente resolva essas três integrais aqui:

s = ∫ d s   x G = ∫ x d s s y G = ∫ y d s s

Que doideira, né? Mas calma!! Aqui a gente lembra que em comprimento de arcos, aquele d s ali tem uma cara conhecida. Se conseguimos escrever y como função de x , ele tem essa cara aqui: d s = 1 + y ' x 2 d x

Onde y ' x é a derivada da função y em relação a x . E aí a nossa integração vai ser em x .  

Mas... uma última dica é que se tivermos uma curva em que podemos escrever x e y como função de um parâmetro t (geralmente problemas que envolvem círculos 😊) o d s é: d s =   x ' t 2 + y ' t 2 d t

Então vamos lá montar o nosso problema!

Passo 2

Vamos começar calculando s . Como temos o comportamento de y em função de x podemos escrever o arco como: s =   ∫ d s = ∫ 1 + y ' x 2 d x Usando os dados que o enunciado nos deu, temos: s =   ∫ - a a 1 + a cosh ⁡ x a '   2 d x

Calculando a derivada temos: s =   ∫ - a a 1 + sen h 2 ⁡ x a d x

Daí usamos a identidade cosh 2 ⁡ x -   s en h 2 ⁡ x = 1 s =   ∫ - a a cosh ⁡ x a d x = a sinh ⁡ x a - a a   s = a sinh ⁡ 1 - a sinh ⁡ - 1 = 2 a sinh ⁡ 1

Beleza!

Passo 3

Agora vamos calcular a coordenada x G ! Para isso, vamos usar as coordenas x   e y como:

x = x y x = a cosh ⁡ x a  

Como x varia de - a até a , temos que resolver então essa integral daqui: x G =   ∫ x d s s x G = 1 2 a sinh ⁡ 1 ∫ - a a x 1 + a cosh ⁡ x a ' 2 d x x G = 1 2 a sinh ⁡ 1 ∫ - a a x cosh ⁡ x a d x

Opaa! Agora temos uma integral mais simples para a gente resolver. Resolvendo essa integral por partes temos:

x G =   1 2 a sinh ⁡ 1 × 0  

x G = 0

Passo 4

Agora vamos calcular a coordenada y G . Da mesma maneira que x G temos que resolver essa integral daqui: y G =   ∫ y d s s

y G = 1 2 a sinh ⁡ 1 ∫ - a a a cosh ⁡ x a 1 + a cosh ⁡ x a ' 2 d x

Arrumando um pouco essa expressão temos:

y G = 1 2 sinh ⁡ 1 ∫ - a a cosh 2 ⁡ x a d x

Resolvendo essa integral usando que cosh 2 ⁡ α = 1 2 ( 1 + cosh ⁡ 2 α ) temos:

∫ - a a cosh 2 ⁡ x a d x = a + a 2 sinh ⁡ 2 Então a coordenada y G é:

y G = 1 2 sinh ⁡ 1 a + a 2 sinh ⁡ 2 y G = a 2 sinh ⁡ 1 1 + a 2 sinh ⁡ 2

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

x G = 0 y G = a 2 sinh ⁡ 1 1 + a 2 sinh ⁡ 2

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Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
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Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1