Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.

( l )   r ( t )   = ∫ 0 t   2   c o s ( π u 2 )   d u ⃗ i   +   ∫ 0 t 2   s e n ( π u 2 )   d u   ⃗ j   +   3 5 t   ⃗ k ,   1   ≤   t   ≤   π .  

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva   r ( t ) = ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) )   é dado pela integral

  L   = ∫ t i t f   ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2   d t

Então vamos montar e calcular essa integral para

r ( t ) =   (     ∫ 0 t   2   c o s ( π u 2 )   d u ,     ∫ 0 t   2   s e n ( π u 2 )   d u ,   3 5 t ) , 1 ≤   t   ≤   4 .

Como teremos que tomar a derivada dessas integrais, vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo, que nos diz:

d d t ∫ g ( t ) u ( t ) f ( x )   d x = f ( u ( t ) ) d u d t - f ( g ( t ) ) d g d t .

Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular as derivadas, lembrando que vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo:

d x d t = d d t ( ∫ 0 t   2   c o s ( π u 2 )   d u ) = 2   c o s ( π t 2 )  

d y d t = d d t ( ∫ 0 t   2   s e n ( π u 2 )   d u ) = 2   s e n ( π t 2 )

d z d t = d d t   (   3 5 t ) =   3 5

Então a integral fica

L   = ∫ 1 π ( 2   c o s ( π t 2 ) ) 2 + ( 2   s e n ( π t 2 ) ) 2 + (   3 5 ) 2 d t

Passo 3

Lembrando que,

  c o s 2 ( π t 2 ) + s e n 2 ( π t 2 ) = 1

Assim,

L   = ∫ 1 π 4 + 45 d t = ∫ 1 π 49 d t = 7 ∫ 1 π d t

Resolvendo essa integral e aplicando os limites:

L   = 7 (   1 ) | 1 π = 7 ( π - 1 ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = 7 ( π - 1 ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Conforme a figura abaixo, uma viga horizontal com dimensões 2 pol × 6 pol × 16 pés (12 pol = 1 pé) fixada nos dois extremos é sujeita a uma carga uniformemente distribuída de 120 lb/pé. Como resultado
Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva.y = ln ( sec x ) , 0 = x = pi // 4
Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1