Calcule o comprimento das curvas

  1.   r ( t ) = t   i →     +   l n ( s e c   t )   j →   +   l n ( s e c   t   +   t a n   t )   k →   c o m   0   ≤   t   ≤   π / 4

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com comprimento de curvas parametrizadas. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar o tamanho da curva

r ( t ) = t   i →     +   l n ( s e c   t )   j →   +   l n ( s e c   t   +   t a n   t )   k →   c o m   0   ≤   t   ≤   π / 4

Agora, como encontramos o comprimento de uma curva? Existe uma fórmula para isso. Lembram dela? O comprimento de uma curva r ( t ) com   a   ≤   t   ≤   b , é dada por:

∫ r ( s ) d s = ∫ a b | r ' ( t ) | d t

Lembraram? Show!!!

Passo 2

Queremos calcular

∫ r ( s ) d s = ∫ a b | r ' ( t ) | d t

vamos começar obtendo r ' ( t )

vamos escrever a nossa r ( t ) como um vetor

r ( t ) = t   i →     +   l n ( s e c   t )   j →   +   l n ( s e c   t   +   t a n   t )   k →   c o m   0   ≤   t   ≤   π / 4

= ( t , l n ( s e c   t ) , l n ( s e c   t   +   t a n   t )   )

Calculando a derivada entrada a entrada

r ' ( t ) = ( 1 , t g   t , s e c   t   )

E com isso, temos que

| r ' ( t ) | = ( 1   + t g 2 t   + s e c 2 ) 1 / 2

mas como

1   + t g 2 t = s e c 2 t

então

| r ' ( t ) | = ( 2 s e c 2 t ) 1 / 2

= 2 s e c   t

Passo 3

Descobrimos que

| r ' ( t ) | = 2 s e c   t

Dessa forma, o comprimento da nossa curva é:

∫ a b | r ' ( t ) | d t = ∫ 0 π / 4 2 s e c   t

pois   0   ≤   t   ≤   π / 4

Então:

∫ 0 π / 4 2 s e c   t   d t = 2 2 π

Integrando a secante, obtemos:

∫ 0 π / 4 2 s e c   t   d t = - 2 l o g ( c o s ( t / 2 )   -   s i n ( t / 2 ) )   +   2 l o g ( c o s ( t / 2 )   +   s i n ( t / 2 ) ) | π / 4 t = 0  

aplicando o limite de integração:

= - 2 l o g ( c o s ( π / 8 )   -   s i n ( π / 8 ) )   +   2 l o g ( c o s ( π / 8 )   +   s i n ( π / 8 ) )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

- 2 l o g ( c o s ( π / 8 )   -   s i n ( π / 8 ) )   +   2 l o g ( c o s ( π / 8 )   +   s i n ( π / 8 ) )

Exercícios de Livros Relacionados

Conforme a figura abaixo, uma viga horizontal com dimensões 2 pol × 6 pol × 16 pés (12 pol = 1 pé) fixada nos dois extremos é sujeita a uma carga uniformemente distribuída de 120 lb/pé. Como resultado
Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva.y = ln ( sec x ) , 0 = x = pi // 4
Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1