Calcule os limites abaixo:

n)

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2 x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2 x

Antes de começarmos, vamos dar uma simplificadinha naquele x 2 , certinho? Se liga:

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2 x = lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x

Agora sim hehe.

Seguinte... se fizermos x = 0 no limite, teremos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Nesse sentido, podemos aplicar L’Hopital!!

Em outras palavras, vamos pegar o numerador e o denominador da expressão e derivarmos em relação a x .

Depois basta substituirmos no limite e resolvê-lo!!

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... Primeiramente derivando o numerador, temos:

x 4 + 1 4 - x 2 + 1 ' = x 4 + 1 4 ' - x 2 + 1 ' ∴

x 4 + 1 4 - x 2 + 1 ' = x 3 x 4 + 1 3 4 - x x 2 + 1

E, derivando o denominador, temos:

x ' = 1

Assim, substituindo no limite, encontramos:

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x = lim x → 0 ⁡ x 3 x 4 + 1 3 4 - x x 2 + 1

Fazendo x → 0 , temos:

lim x → 0 ⁡ x 3 x 4 + 1 3 4 - x x 2 + 1 = 0 3 0 4 + 1 3 4 - 0 0 2 + 1 ∴

lim x → 0 ⁡ x 3 x 4 + 1 3 4 - x x 2 + 1 = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2 x = 0

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Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
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Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1