Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

James Stewart, Cálculo Vol. 1, tradução da 5ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2005, pp. 548 ex 16

Ache o comprimento da curva:

y = ln e x + 1 e x - 1 ,   a x b ,     a > 0

Passo 1

Po, os limites são letras a e b . Como eu vou substituir?

Ora, vai substituir a e b . Vai ficar literal e pronto.

L = a b 1 + f ' x 2 d x

Fórmula, né? Lança aí e vamos botar para fud... ,digo, botar para ferrar!

f ' x = ln e x + 1 e x - 1 ' = e x + 1 e x - 1 ' e x + 1 e x - 1 = e x + 1 ' e x - 1 - ( e x + 1 ) e x - 1 ' e x - 1 2 e x + 1 e x - 1

Olha essa Regra do Quociente nos visitando novamente!

e x + 1 ' e x - 1 - ( e x + 1 ) e x - 1 ' e x - 1 2 e x + 1 e x - 1 = e x e x - 1 - e x e x + 1 ( e x - 1 ) e x + 1 = e x ( - 2 ) ( e x - 1 ) e x + 1

f ' x = - 2 e x e x + 1 e x - 1 = - 2 e x ( e 2 x - 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

f ' x 2 = 4 e 2 x e 2 x - 1 2

1 + f ' x 2 = e 2 x - 1 2 + 4 e 2 x e 2 x - 1 2 = e 4 x - 2 e 2 x + 1 + 4 e 2 x e 2 x - 1 2 = e 4 x + 2 e 2 x + 1 e 2 x - 1 2

= e 2 x + 1 2 e 2 x - 1 2 = e 2 x + 1 e 2 x - 1

Assim, achei o meu termo para integrar:

L = a b 1 + f ' x 2 d x = a b e 2 x + 1 e 2 x - 1 d x

Maluco, agora eu vou usar uma parada que não é boba de pensar não, é uma artifício muito diferente e que eu só aprendi por que um dia um professor meu mostrou, se não eu não ia tentar ele do nada nunca. Saca, vou deixar e x em evidência em cima e embaixo:

a b e x ( e x + e - x ) e x ( e x - e - x ) d x = a b ( e x + e - x ) ( e x - e - x ) d x

Cortei ali também. Bom, se isso que eu vou mostrar aqui não é verdade:

e x - e - x ' = ( e x + e - x )

Ou seja, a derivada do denominador é igual ao termo de cima!

b a ( e x + e - x ) ( e x - e - x ) d x = b a d u u = ln u = ln ( e x - e - x )

E pronto, resolvido à base de mágica! Como eu disse, não era nenhuma obrigação que você conhecesse essa resolução, mas é uma nova ideia e ferramenta para você pensar na próxima. Substituindo os limites:

  ln ( e b - e - b ) - ln e a - e - a = ln e b - e - b e a - e - a

Resposta

ln e b - e - b e a - e - a

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