Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

USP - Cálculo 1 - P3 2011.1 - 3_a

a ) Calcule o comprimento de y x = ln ( 1 - x 2 ) para x 0 , 1 2

Passo 1

Temos como definição que o comprimento é dada pela fórmula abaixo:

L = a b 1 + f ' x 2 d x

Para a dada função, derivamos:

f ' x = 1 - x 2 ' 1 - x 2 = - 2 x 1 - x 2

Colocando no termo que vamos integrar, vamos ver como fica:

1 + f ' x 2 = 1 + - 2 x 1 - x 2 2 = 1 + 4 x 2 1 - x 2 2

= 1 - x 2 2 1 - x 2 2 + 4 x 2 1 - x 2 2 = 1 - 2 x 2 + x 4 + 4 x 2 1 - x 2 2 = 1 + 2 x 2 + x 4 1 - x 2 2

1 + x 2 2 1 - x 2 2 = 1 + x 2 1 - x 2

Agora vamos integrar de vez e ver como sai:

L = a b 1 + f ' x 2 d x = 0 1 2 1 + x 2 1 - x 2 d x = 0 1 2 - ( 1 - x 2 ) d x 1 - x 2 + 0 1 2 2 1 - x 2 d x

= - 0 1 2 d x + 0 1 2 2 1 - x 2 d x

Para essa segunda integral, vamos usar frações parciais:

2 1 - x 2 = A x + 1 + B 1 - x = A - A x + B + B x 1 - x 2

A = B = 1

- 0 1 2 d x + 0 1 2 2 1 - x 2 d x = - 0 1 2 d x + 0 1 2 1 1 + x d x + 0 1 2 1 1 - x d x

= - x + ln 1 + x - ln 1 - x 1 / 2 0

- 1 2 + ln 1 + 1 2 - ln 1 - 1 2 - - 0 + ln 1 + 0 - ln 1 - 0

= - 1 2 + ln 3 2 1 2 - 0 = ln 3 - 1 2

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Resposta

L = ln 3 - 1 2

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