Calcule o comprimento de arco do gráfico da função

g y = y 3 3 + 1 4 y

De 1 , g 1 até 2 , g 2

Passo 1

Comprimento de arco não tem erro, temo só uma fórmula, como temos uma função de y aqui vamos ter

∫ a b 1 + d x d y 2 d y

Quem são esses limites da integração? São os valores de y , então vamos ter

a = 1

b = 2

Passo 2

Vamos a integral, a primeira coisa a fazer é achar d x d y

d x d y = 3 y 2 3 - 1 4 y 2 = y 2 - 1 4 y 2

Substituindo na fórmula

∫ 1   2   1 + y 2 - 1 4 y 2 2 d y

Essa integral parece meio monstra mas vamos dar uma arrumada nessa parada dentro da raiz primeiro para você ver que é de boa

1 + y 2 - 1 4 y 2 2 = 1 + y 4 - 2 y 2 4 y 2 + 1 16 y 4 = 1 + y 4 - 1 2 + 1 16 y 4 = y 4 + 1 2 + 1 16 y 4

Repara que aquele cara ao quadrado deu igual ao resultado final, só mudando o sinal então

y 4 + 1 2 + 1 16 y 4 = y 2 + 1 4 y 2 2

E olha como fica a integral

∫ 1   2   y 2 + 1 4 y 2 2 d y = ∫ 1 2 y 2 + y - 2 4 d y = y 3 3 + y - 1 / - 1 4 y = 1 2 = y 3 3 - 1 4 y y = 1 2

⟹ 2 3 3 - 1 4.2 - 1 3 3 - 1 4.1 = 8 3 - 1 8 - 1 3 - 1 4 = 61 24 - 1 12 = 59 24  

Resposta

59 24

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Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Ache o comprimento da curva. y = ln ⁡ ( sec ⁡ x ) , 0 ≤ x ≤ π / 4
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva. y = 3 + 1 2 cosh ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ 1