Se comprimento do gráfico de y = f x para x ∈ 1 , k é

c k = ∫ 1 k 1 + 4 s 8 d s  

Então f 2 - f 1 =

  1. 7 / 12 .
  2. 1 / 2 .
  3. 5 / 4 .
  4. 13 / 12 .

Passo 1

A fórmula geral para o comprimento de um gráfico de f x num intervalo a , b é: ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Comparando com o enunciado:

∫ a b 1 + f ' x 2 d x ⟹ ∫ 1 k 1 + 4 s 8 d s

Vemos que:

f ' s 2 = 4 s 8

Passo 2

Para achar a função f s , precisamos resolver essa inequação. Primeiramente, vamos isolar f ' s :

f ' s = ± 4 s 8 = ± 2 s 4

Passo 3

Agora, lembremos que:

f ' s = d f s d s

E isolamos os diferenciais:

d f s d s = ± 2 s 4 ⟹ d f s = ± 2 s 4 d s

Integrando dos dois lados no intervalo de integração 1,2 para chegar em f 2 - f 1 :

∫ 1 2 d f s = ± ∫ 1 2 2 s 4 d s

f 2 - f 1 = ± ∫ 1 2 2 s 4 d s

Passo 4

Agora só precisamos resolver essa integral da direita. Sabendo que:

1 s 4 = s - 4

Temos:

∫ 1 2 2 s 4 d s = 2 ⋅ s - 4 + 1 - 4 + 1 1 2 = - 2 3 s 3 1 2 = - 2 3 ⋅ 8 + 2 3 = 2 3 1 - 1 8 = 2 3 ⋅ 7 8 = 7 12

Assim, chegamos:

f 2 - f 1 = ± 7 12

Como só tem a alternativa positiva, ficamos com ela mesma, a letra a !

Resposta

f 2 - f 1 = 7 12

Letra a.

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Ache o comprimento da curva. y = 3 + 1 2 cosh ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ 1