Enunciado

Considere o triângulo curvilíneo cujos lados são:

  • O gráfico de y = x 3 2 para 0 ≤ x ≤ 1
  • O segmento de reta que liga os pontos 1,1 e 2,0
  • E o arco de círculo de centro 1,0 e raio 1 , que tem y ≤ 0

a Escreva as três integrais que permitem calcular os comprimentos dos três lados do triângulo curvilíneo.

b Determine o perímetro do triângulo curvilíneo.

Passo 1

a Vamos aplicar a fórmula do comprimento de curva para os três lados:

C x = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x

A questão agora é só descobrir as funções correspondentes a cada curva e seus d y d x , ou seja, suas derivadas.

Passo 2

Para a primeira, já temos a função:

y = x 3 2

A derivada será

d y d x = 3 2 x 1 2

Logo, a integral, que fica entre 0 ≤ x ≤ 1 , é:

C 1 x = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x = ∫ 0 1 1 + 3 2 x 1 2 2 d x

= ∫ 0 1 1 + 9 4 x   d x

Passo 3

Vamos descobrir a outra função que é a reta de 1,1 até 2,0 :

a 1 + b = 1 a 2 + b = 0

a = - 1       ;       b = 2

Então, essa reta é y = a x + b = - x + 2 . Logo, d y d x é:

d y d x = - x + 2 ' = - 1

A integral fica assim, com x indo de 1 até 2 :

C 2 x = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x = ∫ 1 2 1 + - 1 2 d x

= ∫ 1 2 2   d x

Passo 4

A última função é a parte debaixo de uma circunferência, que tem essa equação:

x - 1 2 + y 2 = 1

Vamos isolar y :

y 2 = 1 - x 2

y = ± 1 - x - 1 2

E aí, a equação será y = 1 - x - 1 2 ou y = - 1 - x - 1 2 ? Repara que a gente está onde y < 0 , então ficamos com a segunda opção. Derivando:

d y d x = - 1 - x - 1 2 ' = - 1 - x - 1 2 ' 2 1 - x - 1 2 = - - 2 x - 1 2 1 - x - 1 2

= x - 1 1 - x - 1 2 = x - 1 1 - x 2 + 2 x - 1

= x - 1 2 x - x 2

Jogando na equação, teremos isso (para x indo de x = 0 até x = 2 ):

C 3 x = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x = ∫ 0 2 1 + x - 1 2 x - x 2 2 d x

= ∫ 0 2 1 + x 2 - 2 x + 1 2 x - x 2 d x = ∫ 0 2 2 x - x 2 + x 2 - 2 x + 1 2 x - x 2 d x

= ∫ 0 2 1 2 x - x 2 d x

Passo 5

b Vamos calcular a soma desses comprimentos, que vai dar o comprimento do triângulo:

C Δ = C 1 + C 2 + C 3 = ∫ 0 1 1 + 9 4 x   d x + ∫ 1 2 2   d x + ∫ 0 2 1 2 x - x 2 d x

Agora basta resolver cada uma das integrais

Passo 6

Começamos com a primeira:

∫ 0 1 1 + 9 4 x   d x

Substituindo o termo da raiz por u , temos:

u = 1 + 9 4 x     ;     d u = 9 4 d x → d x = 4 9 d u

Assim,

∫ 0 1 1 + 9 4 x   d x = ∫ 0 1 u   4 9 d u = 4 9 ∫ 0 1 u   d u

= 4 9 u 3 2 3 2 [ 1 0 = 8 27 u 3 2 [ 1 0

= 8 27 1 3 2 - 8 27 0 3 2 = 8 27  

Passo 7

Fazemos a segunda integral agora:

∫ 1 2 2   d x = 2 x [ 2 1

= 2 2 - 2 1 = 2

Passo 8

A última integral:

∫ 0 2 1 2 x - x 2 d x

Ela parece ser meio chatinha de ser resolvida assim, né? Mas o enunciado não nos pediu que resolvesse ela, e sim que achássemos o perímetro. Vamos usar uma malandragem!

Ué, ela não representa uma meia-circunferência? Sabemos calcular o perímetro de uma circunferência:

2 p = 2 π r

A metade disso, para r = 1 , nos dará o resultado desejado:

C 3 = π r = π 1 = π

Bem melhor do que resolver essa integral, né?

Passo 9

Assim, o perímetro do triângulo será:

C Δ = C 1 + C 2 + C 3 = 8 27 + 2 + π

Resposta

C Δ = 8 27 + 2 + π

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