Seja f x = ∫ 2 3 x t 2 - 1 9 d t

a Determine a derivada da função f .

b Seja g a inversa de f . Determine g ' 0 .

c Ache o comprimento da parte do gráfico de f compreendido entre os pontos 2 3 , 0 e 2 , f 2 .

Passo 1

a Ok, temos que derivar esse f aí, só que ele é dadopor uma integral, correto? Temos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo, nesse caso. Aí, por definição, essa vai ser a derivada:

f ' x = ∫ 2 3 x t 2 - 1 9 d t ' = 3 x 2 - 1 9 3 x '

= 3 9 x 2 - 1 9

Essa é a derivada!

Passo 2

b A derivada da inversa de uma função f , essa g , vai ser dada pela definição da seguinte maneira:

g ' x = 1 f ' g x

Nós já temos uma forma explícita para f ' x , o que significa que basta substituir qualquer valor de g x para sabermos o resultado de g ' x . A questão agora, já que queremos g ' 0 , é saber qual é o g 0 .

Bom, sendo g a inversa de f , a gente sabe que é como se estivéssemos procurando o x que gera f x = 0 . Ora, como f x era dado por aquela integral lá do enunciado, e sabemos que para uma integral definida ser nula seus limites de integração devem ser iguais, o x que gera f x = 0 é:

3 x = 2 → x = 2 3

Portanto, o g ' 0 sai dessa forma:

g ' 0 = 1 f ' g 0 = 1 f ' 2 3

= 1 3 9 2 3 2 - 1 9 = 1 3 4 - 1 9

= 1 3 35 3 = 35 35

Passo 3

c O comprimento L de uma função f contínua qualquer de x = a até x = b é dado pela seguinte fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Nesse caso, como a = 2 3 , b = 2 e f ' x = 3 9 x 2 - 1 9 , temos:

L = ∫ 2 3 2 1 + 3 9 x 2 - 1 9 2 d x = ∫ 2 3 2 1 + 9 9 x 2 - 1 9 d x

L = ∫ 2 3 2 1 + 81 x 2 - 1 d x = ∫ 2 3 2 81 x 2 d x

L = ∫ 2 3 2 | 9 x | d x

Entre x = 2 3 e x = 2 o 9 x = 9 x . Assim:

L = ∫ 2 3 2 9 x d x = 9 x 2 2 [ 2 2 / 3

L = 9 2 2 2 - 9 2 3 2 2

L = 18 - 2

L = 16   u . c .

Resposta

a   f ' x = 3 9 x 2 - 1 9

b   g ' 0 = 35 35

c   L = 16   u . c .

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