1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto x 0 indicado.

m. f x = sin h ⁡ x e x 0 = 0

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , f ' x 0 , usando a definição.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x 0 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem são f x e x 0 . Substituindo na definição, ficamos com

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ sin h ⁡ x - sin h ⁡ 0 x - 0

Como sin h ⁡ 0 = 0 ,

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ sin h ⁡ x x

Se aplicarmos 0 nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Olha só:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ sin h ⁡ x x = 0 0

Então bora sair dessa indeterminação!

Passo 3

Temos o seguinte limte:

lim x → 0 ⁡ sinh ⁡ x x

Pelo limite fundamental trigonométrico, temos aqui

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Então, galerinha, você pode estar pensando agora: “mas aí o seno é normal e o problema pediu o seno hiberbólico”. Você está certíssimo, mas o nosso limite fundamental trigonométrico também servirá para seno hiberólico.

Sendo asism,

lim x → 0 ⁡ sinh ⁡ x x = 1

Logo,

f ' 0 = 1

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre f ' ( a ) :f (t) = (2 t + 1)/(t + 3)
Encontre f ' ( a ) .f (x) = sqrt(3 x + 1)
Se um tanque cilíndrico comporta 100000 litros de água, que podem escoar pela base do tanque em uma hora, então a Lei de Torricelli fornece o volume V de água que restou no tanque após t minutos como:
O custo (em dólares) de produzir x unidades de uma certa mercadoria é C x = 5000 +10 x + 0,05 x 2 a) Encontre a taxa média da variação de C em relação a x quando os níveis de produção estiverem varian
Encontre f ' ( a ) .f (x) = 3 - 2 x + 4 x^2