Para cada uma das seguintes funçōes, calcule pela definição a sua função derivada:

f) q ( x ) = 2 1 + x

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função q ( x ) = 2 1 + x usando a definição de derivada.A derivada de uma função q ( x ) em relação a x , denotada por q ' ( x ) ou d q d x , é definida pela seguinte expressão:

q ' ( x ) = l i m h → 0   q ( x + h ) - q ( x ) h

V a m o s   a p l i c a r   e s s a   d e f i n i ç ã o   à   f u n ç ã o   q ( x ) = 2 1 + x   :

q ' ( x ) = l i m h → 0   q ( x + h ) - q ( x ) h

= l i m h → 0   2 1 + x + h - 2 1 + x h

Passo 2

Multiplicaremos o numerador e o denominador da fração por ( 1 + x + h ) ( 1 + x ) para eliminar o radical no denominador:

= l i m h → 0   2 ( 1 + x ) - 2 ( 1 + x + h ) h ( 1 + x + h ) ( 1 + x )

= l i m h → 0   2 + 2 x - 2 - 2 x + h h ( 1 + x + h ) ( 1 + x )

= l i m h → 0   - 2 x + h h ( 1 + x + h ) ( 1 + x )

= l i m h → 0   - 2 x + h h ( 1 + x + h ) ( 1 + x ) ⋅ 1 - x + h 1 - x + h

= l i m h → 0   - 2 ( 1 - x + h ) h ( 1 + x + h ) ( 1 + x ) ( 1 - x + h )

= l i m h → 0   - 2 ( 1 + x + h ) ( 1 + x )

Passo 3

A g o r a   p o d e m o s   s u b s t i t u i r   h = 0   n o   l i m i t e :

q ' ( x ) = - 2 ( 1 + x ) ( 1 + x )

= - 2 ( 1 + x ) 2

Portanto, a derivada da função q ( x ) = 2 1 + x em relação a x é q ' ( x ) = - 2 ( 1 + x ) 2 . Isso significa que a taxa de variação instantânea da função q ( x ) em qualquer ponto é - 2 ( 1 + x ) 2 .

Resposta

significa que a taxa de variação instantânea da função q ( x ) em qualquer ponto é - 2 ( 1 + x ) 2 .

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