Para cada uma das seguintes funçōes, calcule pela definição a sua função derivada:

i) w ( x ) = x 1 - x

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função w ( x ) = x 1 - x usando a definição de derivada.A derivada de uma função w ( x ) em relação a x , denotada por w ' ( x ) ou d w d x , é definida pela seguinte expressão:

w ' ( x ) = l i m h → 0   w ( x + h ) - w ( x ) h

V a m o s   a p l i c a r   e s s a   d e f i n i ç ã o   à   f u n ç ã o   w ( x ) = x 1 - x   :

w ' ( x ) = l i m h → 0   w ( x + h ) - w ( x ) h

= l i m h → 0   x + h 1 - x + h - x 1 - x h

Passo 2

Multiplicaremos o numerador e o denominador da fração por ( 1 - x + h ) ( 1 - x ) para eliminar o radical no denominador:

= l i m h → 0   ( x + h ) ( 1 - x ) - x ( 1 - x + h ) h ⋅ ( 1 - x + h ) ( 1 - x )

S i m p l i f i c a n d o   o   n u m e r a d o r :

= l i m h → 0   x + h x - x x - x x - x h h ⋅ ( 1 - x + h ) ( 1 - x )

= l i m h → 0   h x - x h h ⋅ ( 1 - x + h ) ( 1 - x )

= l i m h → 0   h ( x - x ) h ⋅ ( 1 - x + h ) ( 1 - x )

= l i m h → 0   x - x ( 1 - x + h ) ( 1 - x )

Passo 3

A g o r a ,   s u b s t i t u i n d o   h = 0   n o   l i m i t e :

w ' ( x ) = x - x ( 1 - x ) ( 1 - x )

= x - x ( 1 - x ) 2

Portanto, a derivada da função w ( x ) = x 1 - x em relação a x é w ' ( x ) = x - x ( 1 - x ) 2 . Isso significa que a taxa de variação instantânea da função w ( x ) em qualquer ponto é x - x ( 1 - x ) 2 .

Resposta

significa que a taxa de variação instantânea da função w ( x ) em qualquer ponto é x - x ( 1 - x ) 2 .

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