3) Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções no ponto indicado:

b)

g x = x + 4 - 2 x ;             a = 0

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, essa questão deu pra gente uma função e pediu pra calcular a sua derivada no ponto a = 0 usando a definição. Então o que devemos fazer é aplicar a seguinte relação:

g ' x = lim x → 0 ⁡ g x - g ( 0 ) x - 0

Então, bora comigo que te ajudo com isso!

Passo 2

Como a derivada que queremos calcular é

g ' x = lim x → 0 ⁡ g x - g ( 0 ) x - 0

teremos:

g ' x = lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x - 0 + 4 - 2 ⋅ 0 x - 0

Podemos ajustar um pouco

g ' x = lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x - 4 x

E ficamos com

g ' x = lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x - 2 x

Como temos a soma de três termos na parte de cima e apenas um termo na parte de baixo, podemos separar e escrever:

g ' x = lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x - 2 x x

g ' x = lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x - lim x → 0 ⁡ 2

Show, agora vamos nos preocupar em resolver esses limites aí.

Passo 3

Resolvendo cada limite separadamente, teremos:

lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x = 4 - 2 0 = 0 0

Opa! Caímos em uma indeterminação. E para sair dela, vamos multiplicar nossa função pelo conjugado do numerador. Assim

lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x ⋅ x + 4 + 2 x + 4 + 2

E teremos:

lim x → 0 ⁡ x + 4 2 - 2 2 x x + 4 + 2

lim x → 0 ⁡ x + 4 - 4 x x + 4 + 2

E finalmente

lim x → 0 ⁡ x x x + 4 + 2

Cortando x

lim x → 0 ⁡ 1 x + 4 + 2

E aplicando o limite de x → 0 , teremos:

lim x → 0 ⁡ 1 0 + 4 + 2 = 1 4

Maravilha, vamos resgatar o outro limite que estávamos precisando calcular.

Passo 4

Lembra que estamos atrás de

g ' x = lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x - lim x → 0 ⁡ 2

Então, teremos:

g ' x = 1 4 - 2 = - 7 4

E prontinho! Encontramos nossa resposta!

Resposta

g ' 0 = - 7 4

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