3 – Dada a função abaixo responda:

f x = x - 4

a) Domínio de f x .

b) A função inversa de f x .

c) Determine f ' 5 a derivada pela definição. (não utilizar o teorema de L ' H o p i t a l ).

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter o domínio da função f x = x - 4 , assim como a função inversa e determinar f ' 5 derivando pela definição.

Como podemos fazer isso? 👀

O domínio de uma função é dado pelos possíveis valores de x que é possível atribuir sem que a função fique indefinida.

A função inversa é obtida trocando x e y de lugar e isolamos y novamente.

Já a derivada de uma função pela definição é dada pela fórmula

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Analisando a função f x , vemos que x - 4 pode receber valores maiores ou igual a 4 , já que o resultado dentro da raiz deve ser maior ou igual a 0 e valores menores que 0 não pertencem ao conjunto dos reais.

D o m f x = x ∈ R x ≥ 4

Bacana, não é? 😎

Agora vamos obter a função inversa de f x . Se f x = y então

y = x - 4

Trocando x e y ...

x = y - 4

Elevando os dois lados ao quadrado para simplificar a raiz

x 2 = y - 4

y = x 2 + 4

Resultando em...

f - 1 x = x 2 + 4

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora calculamos a derivada de f x a partir da definição

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h - 4 - x - 4 h

Multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado de x + h - 4 - x - 4

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h - 4 - x - 4 h · x + h - 4 + x - 4 x + h - 4 + x - 4

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h - 4 - x - 4 h x + h - 4 + x - 4

f ' x = lim h → 0 ⁡ h h x + h - 4 + h - 4

Simplificando...

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 x + h - 4 + x - 4

Substituindo h por 0

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 x + h - 4 + x - 4 = 1 x + 0 - 4 + x - 4

f ' x = 1 x - 4 + x - 4

f ' x = 1 2 x - 4

E por fim, substituindo x por 5

f ' 5 = 1 2 5 - 4

f ' 5 = 1 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) D o m f x = x ∈ R x ≥ 4

b) f - 1 x = x 2 + 4

c) f ' 5 = 1 2

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