Encontre uma função y ( x ) tal que y ' x = 2 y ( x ) e y 0 = 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma função y ( x ) tal que a derivada dessa função seja igual a 2 y ( x ) . Isso nos lembra a definição de primitiva, né? Que nos diz que uma função F é denominada uma primitiva de f em um intervalo se F ' x = f ( x ) para todo x nesse intervalo.

Lembra que quando achamos uma primitiva acrescentamos a constante C aleatória no resultado, certo? Só que agora ele nos deu um valor y 0 = 2 , que é uma condição inicial. Por isso chamamos esse tipo de problema de problema de valor inicial, ou PVI. Esse valor inicial vai nos permitir encontrar o valor da constante C .

Então, vamos achar uma primitiva para a função, que quando derivada seja igual a duas vezes ela mesma. Depois vamos aplicar o ponto y 0 = 2 , para encontrar o valor da constante.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, quando a gente pensa em uma função que derivada dar ela mesma, nos vem logo na cabeça a função exponencial, certo? Porque para y x = e x , temos:

y ' x = e x

Mas a gente quer que y ' x = 2 y ( x ) , então vamos adicionar 2 no expoente, porque aí vamos ter:

y x = e 2 x → y ' x = 2 e 2 x

Então, a primitiva da função vai ser:

y x = e 2 x + C

Fazendo y 0 = 2 , temos:

e 2 ∙ 0 + C = 2

e 0 + C = 2 → 1 + C = 2

Isolando C :

C = 1

Então, nossa função será:

y x = e 2 x + 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = e 2 x + 1

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