As montanhas da figura são modeladas pelo gráfico da função f x = - x cos ⁡ x , para x ∈ - π 2 , 3 π 2 . Um atirador de elite, localizado na origem do sistema de coordenadas, tenta neutralizar fugitivos que escalam a montanha à direita para escapar da linha de tiro. Se os fugitivos passarem do ponto de tangência d ,   f d sairão do campo de visão do atirador. O problema é determinar a distância máxima entre o atirador e um alvo potencial.

  1. Determine o valor de d , sabendo que a reta tangente à montanha por d , f d passa pela origem e que π 2 < d < 3 π 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos pede para calcular o valor de d e, para isso, temos duas informações:

  1. O ponto d , f d pertence a uma reta que passa pela origem;
  2. π 2 < d < 3 π 2 .

Na questão anterior, descobrimos que a equação da reta para um ponto a pertencente ao intervalo - π 2 , 3 π 2 é dada por:

y = x a sin ⁡ a - cos ⁡ a - a 2 sin ⁡ a

Nesse sentido, temos que fazer d = a e fazer x = y = 0 , pois o ponto está na origem!!

Bora lá??

😉

Passo 2

Nesse sentido, da equação da reta, temos:

y = x a sin ⁡ a - cos ⁡ a - a 2 sin ⁡ a

Fazendo a = d e x = y = 0 , temos:

0 = 0 * d sin ⁡ d - cos ⁡ d - d 2 sin ⁡ d ∴

sin ⁡ d = 0 ∴

d = sin - 1 ⁡ 0 ∴

Cuidaaaaado para não colocar d = 0 , pois o intervalo de d é - π 2 , 3 π 2 . Assim, o único valor desse intervalo que tem o seno igual a zero é:

d = π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d = π

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