Mostre a partir da definição de derivada que

  1. d d x sen ⁡ x = c o s x

Passo 1

E aí, galerinhaaa!

Esse exercício pede pra gente fazer uma demonstração, usando a definição de derivada.

Então primeiro de tudo a gente precisa lembrar qual é a definição de derivada, certo? É essa aqui:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Nesse nosso caso quem é f ( x ) ? Tcharammmm é a nosso lindão c o s ⁡ ( x ) !! Por sua vez, f x + h = c o s ⁡ ( x + h )

Opa, mas está vendo aí que surgiu um sen ⁡ x + h e que esse cara tem uma fórmula que diz que sen ⁡ a + b = s e n a cos ⁡ b + cos ⁡ a s e n ( b )

Portanto, temos que:

s e n x + h = s e n x cos ⁡ h + cos ⁡ x s e n ( h )

Passo 2

Agora a gente vai partir pra manipulação!!

d d x sen ⁡ x = lim h → 0 ⁡ s e n x + h - s e n x h

lim h → 0 ⁡ s e n x + h - s e n x h = l i m h → 0 s e n x cos ⁡ h + cos ⁡ x s e n ( h ) - s e n ⁡ ( x ) h

Sabemos que lim ⁡ A + B = l i m A + l i m

Então, usando essa propriedade vamos ter:

l i m h → 0 s e n x cos ⁡ h + cos ⁡ x s e n ( h ) - s e n ⁡ ( x ) h

A gente antes pode ainda deixar o s e n ⁡ ( x ) em evidência, tendo:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x s e n h h + s e n x cos ⁡ h - s e n x h

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x s e n h h + s e n x cos ⁡ h - 1 h

Passo 3

Uma das simplificações que podemos utilizar aqui é que:

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

lim h → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0

Essas relações você precisa ter no seu sangue, beleza??!

d d x s e n ( x ) = lim h → 0 ⁡ s e n x cos ⁡ h - 1 h + lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x s e n h h

d d x sen ⁡ x = lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ x 1 - c o s ⁡ ( h ) h + lim h → 0 ⁡ c o s ⁡ ( x ) s e n h h

d d x s e n x = - s e n x × 0 + c o s ⁡ ( x ) × ( 1 )

d d x s e n x = c o s ⁡ ( x )

Resposta

Demonstração

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