Os passos seguintes nos permitem calcular a derivada de f x = sin ⁡ x e g x = cos ⁡ ( x ) .

(a) Use o Limite Trigonométrico Fundamental para calcular as derivadas das funções no ponto x = 0 , isto é,

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f h - f ( 0 ) h , g ' 0 = lim h → 0 ⁡ g h - g ( 0 ) h

(b) Use a identidade sin ⁡ a + b = sin ⁡ a cos ⁡ b + cos ⁡ a sin ⁡ b , os limites acima e definição de derivada para concluir que sin ⁡ x ' = cos ⁡ x .

(c) Repita o argumento acima com a identidade cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ ( a ) cos ⁡ b - sin ⁡ a sin ⁡ b   para concluir que cos ⁡ x ' = - sin ⁡ ( x ) .

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinho?

Para resolver essa questão vamos seguir os passos dados no enunciado. Temos 3 passos, para que possamos derivar as funções trigonométricas utilizando o limite fundamental.

Vamos utilizar as seguintes relações trigonométricas ao longo da questão, então lembre-se delas:

sin ⁡ a + b = sin ⁡ a cos ⁡ b + cos ⁡ a sin ⁡ b             ( I )

cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ ( a ) cos ⁡ b - sin ⁡ a sin ⁡ b                 ( I I )

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h = 0                         ( I I I )

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ ( h ) h = 1                         ( I V )

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular a derivada da f ( x ) no ponto x = 0 , utilizando o limite fundamental.

Calculando para f 0 = sin ⁡ 0 :

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f h - f ( 0 ) h = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ ( h + 0 ) - sin ⁡ ( 0 ) h

Pela relação ( I ) , podemos reescrever o limite como

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ ( h + 0 ) - sin ⁡ ( 0 ) h = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ ( h ) cos ⁡ ( 0 ) + cos ⁡ ( h ) sin ⁡ ( 0 ) - sin ⁡ ( 0 ) h

Vamos colocar sin ⁡ ( 0 ) em evidência e aplicando ( I I I ) e ( I V ) :

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 0 cos ⁡ h - 1 h + cos ⁡ 0 sin ⁡ h h = 0 + 1

Logo, a derivada de seno no ponto x = 0 é:

f ' 0 = 1

Passo 3

Agora vamos calcular da g ( x ) no ponto x = 0 , utilizando o limite fundamental.

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ g h - g ( 0 ) h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ ( h + 0 ) - cos ⁡ ( 0 ) h

Pela relação ( I I ) , podemos reescrever o limite como

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ ( h + 0 ) - cos ⁡ ( 0 ) h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ ( h ) cos ⁡ ( 0 ) - sin ⁡ h sin ⁡ ( 0 ) - cos ⁡ ( 0 ) h

Vamos colocar cos ⁡ ( 0 ) em evidência e aplicando ( I I I ) e ( I V ) :

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ 0 cos ⁡ h - 1 h - sin ⁡ 0 sin ⁡ h h = 0 + 0

g ' 0 = 0

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada de seno sem aplicar a nenhum ponto. Para isso basta seguirmos os mesmos passos, porém não vamos substituir nenhum valor para x .

Calculando para f x = sin ⁡ x :

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f h - f ( x ) h = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ ( h + x ) - sin ⁡ ( x ) h

Pela relação ( I ) , podemos reescrever o limite como

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ ( h + x ) - sin ⁡ ( x ) h = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ ( h ) cos ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( h ) sin ⁡ ( x ) - sin ⁡ ( x ) h

Vamos colocar sin ⁡ ( x ) em evidência e aplicando ( I I I ) e ( I V ) :

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ h - 1 h + cos ⁡ x sin ⁡ h h = 0 + cos ⁡ ( x )

Logo, a derivada de seno é:

f ' x = cos ⁡ ( x )

Passo 5

Vamos agora calcular a derivada de cosseno sem aplicar a nenhum ponto. Para isso basta seguirmos os mesmos passos, porém não vamos substituir nenhum valor para x .

Agora vamos calcular da g ( x ) , utilizando o limite fundamental.

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ g h - g ( x ) h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ ( h + x ) - cos ⁡ ( x ) h

Pela relação ( I I ) , podemos reescrever o limite como

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ ( h + x ) - cos ⁡ ( x ) h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ ( h ) cos ⁡ ( x ) - sin ⁡ h sin ⁡ ( x ) - cos ⁡ ( x ) h

Vamos colocar cos ⁡ ( 0 ) em evidência e aplicando ( I I I ) e ( I V ) :

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 h - sin ⁡ x sin ⁡ h h = - sin ⁡ ( x )

g ' x = - sin ⁡ ( x )

Prontinhoooo! Finalizamos!

Resposta

As demonstrações podem ser vistas nos passos.

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