Um ponto desloca-se sobre o gráfico da curva   y   =   1 x . No instante em que ele se encontra no ponto (2,   1 2 ), a taxa de variação de sua abscissa é 10m/s. A taxa de variação da distância do ponto até a origem neste mesmo instante é

a. - 1 4 ; b. 40 2 17 ; c. 75 2 17 ; d. - 75 2 17 ; e. 40 2 17 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a taxa de variação da distância de um ponto até a origem , considerando a situação que ele desloca-se sobre o gráfico da curva   y   =   1 x , e no instante em que ele se encontra no ponto (2,   1 2 ), a taxa de variação de sua abscissa é 10m/s.

Para isso, vamos lembrar que a taxa de variação é dada pela derivada dessa distância com relação ao tempo. Como vamos escrever essa função em termos de x , vamos utilizar a regra da cadeia para determinar sua derivada com relação a t . Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos lembrar que a distância D ( x ) com relação a origem é dada pela relação

D ( x ) = x 2 + y ( x ) 2

temos que y ( x ) = 1 x .

Passo 3

Agora,vamos derivar essa distância com relação ao tempo para obter a taxa de variação da distância do ponto (2,   1 2 ) até a origem. Vamos utilizar a regra da cadeia:

d d t D ( x ) = d d t ( x 2 + y ( x ) 2 ) = 1 2 1 x 2 + y ( x ) 2 d d t ( x 2 + y ( x ) 2 )

d d t D ( x ) = 1 2 1 x 2 + y ( x ) 2 ( 2 x d   x d t + 2 y ( x ) d   y ( x ) d x d   x d t )

Como queremos avaliar a derivada no ponto (2,   1 2 ), temos que

d   x d t | ( 2 ,   1 2 ) = 10   m / s

d   y ( x ) d x | ( 2 ,   1 2 ) = d d x ( 1 x ) | ( 2 ,   1 2 ) = - 1 x 2 | ( 2 ,   1 2 ) = - 1 4

E lembrando que ( x 0 ,   y ( x 0 ) ) = ( 2 ,   1 2 ) .

Passo 4

Agora,tendo essas informações, vamos avaliar a taxa de variação da distância nesse ponto:

d d t D ( x ) | ( 2 ,   1 2 ) = [ 1 x 2 + y ( x ) 2 ( x d   x d t + y ( x ) d   y ( x ) d x d   x d t ) ] | ( 2 ,   1 2 )

d d t D ( x ) | ( 2 ,   1 2 ) = [ 1 2 2 + ( 1 2 ) 2 ( 2 ( 10 ) + 1 2 ( - 1 4 ) 10 ) ] = [ 1 17 4 ( 20 - 10 8 ) ]

d d t D ( x ) | ( 2 ,   1 2 ) = [ 2 17 ( 160 - 10 8 ) ] = [ 1 17 ( 150 4 ) ] = 75 2 17 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

c. d d t D ( x ) | ( 2 ,   1 2 ) = 75 2 17

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