Seja f : R → R uma função contínua derivável satisfazendo as seguintes propriedades:

  1. f ' x x > 0   p a r a   t o d o ∀   x ϵ R ;
  2. f 0 = 0 ;
  3. lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞ ;
  4. lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞ ;

Considere também que a função g : R   \   { 0 } → R definida por g x = f x e 1 / f ( x ) . Decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa:

A) A equação f x = 1 possui exatamente uma solução real. A solução dessa equação é um número real estritamente positivo.

B) A equação g x = 5 possui exatamente duas soluções reais.

C) A função g possui um único ponto de mínimo local.

D) A função g possui ao menos um ponto de máximo local.

E) A equação g x = 2 possui ao menos uma solução real.

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora resolver essa questão testando cada item por vez. Começando pelo A), ele nos diz que:

A)A equação f x = 1 possui exatamente uma solução real. A solução dessa equação é um número real estritamente positivo.

Para testarmos isso, usaremos o Teorema do Valor Intermediário. Ele nos garante que existe um único número real p tal que f p = 1 . Mas, porque acontece isso? Ora, como a função é estritamente crescente, e o limite dela tende a infinito, e também como f ( 0 )   =   0 , com certeza tem algum valor entre

  x   =   0  

E

x → ∞

, para o qual f ( p )   =   1 . Você sabe como a gente garante que o TVI seja aplicável na questão? Pra gente saber se o Teorema do valor intermediário funciona aqui, temos que garantir que: a função seja contínua e também que:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

E veja só, a questão nos afirma exatamente isso. Ela afirma pra gente que a função é contínua pois ela é sempre derivável em todos os reais. a derivada dela é positiva para todo núumero real, eE como a função é crescente, afirma exatamente que:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

Logo, o TVI é aplicável e a afirmação é verdadeira!

Passo 2

Continuando para as próximas afirmações, vamos estudar o que acontece se derivarmos a função que a questão nos dá:

g x = f x e 1 / f ( x )

Como calcularemos a derivada dela? Bem, usaremos a regra do produto e regra da cadeia. Bem, primeiro calcularemos a derivada de:

h x = e 1 / f ( x )

Temos que:

e 1 f x ' = 1 - 1 f x

Dessa forma, pela regra da cadeia:

g ' x = f ' x e 1 f x ⋅ e 1 f x '

Logo,

Temos:

g ' x = f ' x e 1 f x   1 - 1 f x  

Para todo x ≠ 0 . Já que em 0 , a função f ( 0 ) = 0 e isso geraria uma indeterminação no termo:

1 - 1 f x

Show. Para g ' ( x ) , os dois primeiros termos são estritamente positivos. Para o termo:

1 - 1 f x

Ele só é positivo se, e somente se, f x < 0 ou f x > 1 . Mas vocês lembram do TVI que resolvemos no passo 1 ? A partir dele sabemos que a nossa função é estritamente crescente e que:

f 0 = 0 e f p = 1

Analogamente, podemos escrever isso como:

x < 0

x > p

Passo 3

Belezinha, vamo continuar. Logo, a nossa derivada g ' ( x ) só é positiva se e somente se o ultimo termo também for positivo. Para isso acontecer (como eu mostrei anteriormente) precisamos que:

x < 0

x > p

Escrevendo isso matematicamente:

g ' x > 0 ,   p a r a   t o d o   x ϵ ] - ∞ ,   0 ) ∪ ( p ,   + ∞ [

E

g ' x < 0   p a r a   t o d o   x ϵ ] 0 , p [    

E se a nossa derivada ( g ' ( x ) ) é positiva em um intervalo, significa que nesse intervalo g ( x ) é crescente. Da mesma forma se a derivada for negativa em um intervalo, significa que para esse intervalo, nossa função é decrescente. Como a função decresce até limite de p , ele é nosso único ponto de mínimo local de g ( x ) . E a função g ( x ) não tem máximos locais, já que ele cresce até + ∞ . Com isso já matamos mais duas afirmações:

C)A função g   possui um único ponto de mínimo local. VERDADEIRA

D)A função g possui ao menos um ponto de máximo local. FALSA

Passo 4

Agora nos resta duas afirmações restantes:

B)A equação g x = 5 possui exatamente duas soluções reais.

E)A equação g x = 2 possui ao menos uma solução real.

Garantindo que temos exatamente uma solução real em g x = 1 , somente a alternativa b é falsa.

E é isso galerinha, terminamos a questão!Vamos investigar essas afirmações estudando o valor de g no mínimo local

Resposta

a → v e r d a d e i r a a)

b → f a l s a

c → v e r d a d e i r a

d → f a l s a

e → v e r d a d e i r a

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