Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Seja f : I R → I R tal que x sin ⁡ x + 2 ≤ f x ≤ x 2 + 2 , para todo x ∈ I R . Considere as seguintes afirmações:

  1. f 0 = 2
  2. lim x → 0 ⁡ f x - 2 x 2 = 1
  3. f é contínua em x = 0
  4. f ' 0 = 1

São verdadeiras as seguintes afirmações:

  1. Somente I , I I e I I I
  2. Todas
  3. Somente I , I I I e I V
  4. Somente I e I V
  5. Somente I e I I I

Passo 1

Pra gente iniciar essa questão, vamos lembrar de uma propriedade muito importante das funções contínuas. Saca só, pra elas, vai sempre valer, pra qualquer x = a que se escolha:

lim x → a ⁡ f x = f a

E se escolhermos a = 0 ? Ficamos com:

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

Pelo Teorema do Confronto, dá pra tirar esse limite:

x sin ⁡ x + 2 ≤ f x ≤ x 2 + 2

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x + 2 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 + 2

2 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 2

E logo:

lim x → 0 ⁡ f x = 2

lim x → 0 ⁡ f x = f 0 = 2

A função é contínua em x = 0 e vale f 0 = 2 . Tanto I quanto I I I são verdades.

Passo 2

Po, te falar, Teorema do Confronto vai cair muito bem pra provar, ou não né, as outras afirmações. Afinal, se dermos uma mexidinha na inequação...:

x sin ⁡ x + 2 ≤ f x ≤ x 2 + 2

x sin ⁡ x ≤ f x - 2 ≤ x 2

sin ⁡ x x ≤ f x - 2 x 2 ≤ 1

... Ai sim aparece o interior do limite da afirmação I I . Pelo teorema do confronto:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x ≤ lim x → 0 ⁡ f x - 2 x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ 1

Como o limite da esquerda é o Limite Fundamental Trigonométrico:

1 ≤ lim x → 0 ⁡ f x - 2 x 2 ≤ 1

lim x → 0 ⁡ f x - 2 x 2 = 1

Taí provada a afirmação I I

Passo 3

Mais uma vez vamos precisar do teorema do confronto. Sabe porque? Porque bem, pela definição de derivada:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Como I V quer saber se f ' 0 = 1 , vamos trocar x por zero na definição acima:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x - f 0 ∆ x

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x - 2 ∆ x

E só pra ficar mais fácil de enxergar o que nós vamos fazer agora, troca aí o ∆ x por x :

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - 2 x

E brincando uma última vez de Teorema do Confronto:

x sin ⁡ x + 2 ≤ f x ≤ x 2 + 2

x sin ⁡ x ≤ f x - 2 ≤ x 2

sin ⁡ x ≤ f x - 2 x ≤ x

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x ≤ lim x → 0 ⁡ f x - 2 x ≤ lim x → 0 ⁡ x

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x - 2 x ≤ 0

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - 2 x = 0

Puts, então essa afirmação está errada. O valor da derivada não deu o mesmo que o do enunciado. As afirmativas I , I I , I I I que estão corretas

Resposta

L e t r a   A

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