Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Seja f : I R → I R tal que x sin ⁡ x + 1 ≤ f x ≤ x 2 + 1 , para todo x ∈ I R . Considere as seguintes afirmações:

  1. f 0 = 1
  2. lim x → 0 ⁡ f x - 1 x 2 = 1
  3. f é contínua em x = 0
  4. f ' 0 = 0

São verdadeiras as seguintes afirmações:

  1. Somente I , I I e I I I
  2. Todas
  3. Somente I , I I I e I V
  4. Somente I e I V
  5. Somente I e I I I

Passo 1

Bora lá. Pra gente começar a ver essa questão, vou lembrar de uma propriedade muito importante de funções contínuas. Pra toda função contínua, pra qualquer x = a que se escolha, vale:

lim x → a ⁡ f x = f a

E nisso a gente já mata duas dessas afirmações! Porque saca só, se escolhermos a = 0 , ficamos com:

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

E esse limite, pelo Teorema do Confronto, dá:

x sin ⁡ x + 1 ≤ f x ≤ x 2 + 1

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x + 1 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 + 1

1 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 1

E logo:

lim x → 0 ⁡ f x = 1

lim x → 0 ⁡ f x = f 0 = 1

A função é contínua em x = 0 e vale f 0 = 1 . Tanto I quanto I I I são válidos.

Passo 2

E agora, acredite em mim, também vamos matar as outras duas afirmações de uma vez. Veja só, pela definição de derivada, temos:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Como I V quer saber se f ' 0 = 0 , vamos trocar x por zero na definição acima:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x - f 0 ∆ x

Como vimos no passo anterior que f 0 = 1 ficamos com:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x - 1 ∆ x

Pra ficar mais fácil de enxergar o que nós vamos fazer agora, troca o ∆ x por x :

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - 1 x

E brincando de novo de Teorema do Confronto:

x sin ⁡ x + 1 ≤ f x ≤ x 2 + 1

x sin ⁡ x ≤ f x - 1 ≤ x 2

sin ⁡ x ≤ f x - 1 x ≤ x

Aplicando o limite:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x ≤ lim x → 0 ⁡ f x - 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x - 1 x ≤ 0

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - 1 x = 0

E taí provada a afirmação I V . A última que faltou, I I , a gente checa se é verdade retomando o Teorema do Confronto uma última vez. Se dividirmos por x dos dois lados a inequação abaixo:

sin ⁡ x ≤ f x - 1 x ≤ x

sin ⁡ x x ≤ f x - 1 x 2 ≤ 1

Fazendo o limite então, acaba que surge do lado esquerdo o limite fundamental trigonométrico. Resolvendo:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x ≤ lim x → 0 ⁡ f x - 1 x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ 1

1 ≤ lim x → 0 ⁡ f x - 1 x 2 ≤ 1

lim x → 0 ⁡ f x - 1 x 2 = 1

E show! Fechamos! Na verdade, todas as afirmações são verdadeiras!

Resposta

L e t r a   B

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