Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e f   :   I   →   R uma função. Dado a   ∈   I , lembre que a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a ,   f ( a ) ) é a (única) reta que passa pelo ponto ( a ,   f ( a ) ) e tem inclinação igual a

f ’ ( a )   =   lim x → a ⁡ f x - f ( a ) x - a

quando o limite existe. Neste caso, a equação da reta tangente y   =   y ( x ) é dada por y   -   f ( a )   =   f   '   ( a ) ( x   -   a ) .

Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f   '   ( a ) em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.

(c) f ( x )   =   x | x | ,   n o   p o n t o   ( 0 ,   f ( 0 ) )

Passo 1

Faaala galera, nesse exercício vamos calcular a reta tangente a uma função no ponto a ,   f a .

Antes de tudo, pensemos:

Estamos trabalhando com módulo, então vamos ter que estudar as situações de a > 0 e a < 0 , bem como seus limites. Além disso, vamos pensar na seguinte coisa que vai nos ajudar:

  1. Se x está tendendo a um valor a menor que zero, podemos dizer:
  2. | a |   =   - a                 e               | x |   =   - x

  3. Se x está tendendo a um valor a maior ou igual a zero, afirmamos:

| a |   =   a                 e               | x |   =   x

Agora sim, calculemos nossos limites, para a situação i e ii:

  1. f ’ a =   lim x → a ⁡ f x - f a x - a =   lim x → a ⁡ | x | x - a | a | x - a =   lim x → a ⁡ - x 2 + a ² x - a =   lim x → a ⁡ - ( x - a ) ( x + a ) x - a = - a + a = - 2 a

f ’ a =   lim x → a ⁡ f x - f a x - a =   lim x → a ⁡ | x | x - a | a | x - a =   lim x → a ⁡ x 2 - a ² x - a =   lim x → a ⁡ ( x - a ) ( x + a ) x - a = a + a = 2 a

Passo 2

Agora, só precisamos aplicar os valores relativos ao ponto ( 0 ,   f ( 0 ) ) na fórmula da reta tangente:

Como obtivemos os limites - 2 a   e   2 a , se aplicarmos 0 temos pra ambos que f ' ( a ) = 0

y   -   f ( a )   =   f   '   ( a ) ( x   -   a )

y   - | 0 | 0   =   0 ( x   -   0 )

y   =   0

Eis a nossa reta, questão finalizada 😉

Resposta

(c)   f ' a = 2 a   se   a ≥ 0   e   f ' a =   - 2 a     se   a < 0 ; a reta tangente no ponto (0, 0) é y = 0.

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