(a) Suponha que (i) f ( a )   =   g ( a )   =   h ( a ) , (ii) f ( x )   ≤   g ( x )   ≤   h ( x ) para todo x, e (iii) f ' ( a )   =   h ' ( a ) . Prove que g é diferenciavel em a e que f ' ( a )   =   g ' ( a )   =   h ' ( a ) .

Passo 1

Olá meu amigo, hoje iremos realizar algumas provas. Venha comigo que é só sucesso!! Pela hipótese (i), sabemos que f ( a ) = g ( a ) = h ( a ) , o que implica que a é um ponto comum nos domínios de f, g e h. A desigualdade f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) para todo x implica que g está limitada entre f e h, o que significa que está "preso" entre duas funções que têm o mesmo valor e, portanto, não pode oscilar de forma descontrolada.

Agora, usando o Teorema do Valor Intermediário para Derivadas (também conhecido como Teorema de Darboux), sabemos que se uma função está limitada entre duas outras funções que têm a mesma derivada em um ponto, então a função intermediária também tem a mesma derivada nesse ponto.

Passo 2

Como f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) e f ’ ( a ) = h ’ ( a ) (hipótese (iii)), pelo Teorema de Darboux, podemos concluir que g é diferenciável em e que g ' ( a ) = f ' ( a ) = h ' ( a ) .

Portanto, g é diferenciável em e g ' ( a ) = f ' ( a ) = h ' ( a ) . Essencialmente, o Teorema de Darboux garante que, mesmo que g esteja "preso" entre f e ℎ, a derivada de g não pode "pular" o valor h’(a) e deve ser contínua entre as derivadas de f e ℎ no ponto a.

Resposta

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