Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a ,   f ( a ) ) , para o valor de a indicado.

  1. f x = x 2 - x + 1 ,         a = 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo tranquilo?? Bora pra cima desse exercício.

Já sabemos que a derivada por limites pode ser dada dessa forma:

f   '   ( x )   = lim h → 0 ⁡   f ( x + h )   -   f ( x ) h

Então:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h -   f x h =   lim h → 0 ⁡ [ x + h 2 - x + h + 1 ] - [   h 2 - h + 1 ] h

= lim h → 0 ⁡ ( x 2 + 2 x h + h 2 - x - h + 1 ) - (   x 2 - x + 1 ) h = lim h → 0 ⁡ ( h 2 + 2 h x - h ) h

Se deixarmos h em evidência no numerador e cortarmos com o h do denominador:

  lim h → 0 ⁡ h + 2 x - 1 = 2 x - 1

Eis nosso f ' ( x )

Passo 2

f ' x = 2 x - 1

f ' 1 = 1

A reta em ( 1 , f ( 1 ) ) é dada por y   -   f ( a )   =   f   '   ( a ) ( x   -   a ) :

y - 1 = 1 ( x - 1 )

y = x

E é isso, pessoal 😉

Resposta

f   '   ( x )   =   2 x   -   1 . A reta tangente no ponto ( 1 ,   f ( 1 ) ) é y   =   x .

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