Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. (Veja Texto 2) Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado. (Veja vídeo)

  1. f(x) = 1 x   , a = 1

Passo 1

Então galerinha, suave? Primeiramente, a questão nos pede para calcular a derivada da função usando a definição, daí, basta a gente lembrar a definição de derivada, que é:

f ’(x) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Pois bem, agora que temos a fórmula, vamos atrás dos valores para substituir na equação e desenvolvermos para acharmos o limite que que representa a derivada da equação:

  1. f ( x + h ) = 1 x + h
  2. f x =   1 x

Agora, basta substituir na fórmula e desenvolvermos esse limite, que ficará:

lim ⁡ h → 0 ⁡ 1 x + h -   1 x h (I)

Passo 2

Chegamos nessa expressão (I), pois agora vamos simplificar o numerador. Para tornar mais fácil a manipulação desse limite. Chamaremos a expressão do numerador de A. Então começaremos multiplicando pelo conjugado do numerador:

A = 1 x + h -   1 x = 1 x + h     -   1 x .   1 x + h +   1 x 1 x + h   +   1 x = 1 x + h   -   1 x x + x + h x x + h =   x - ( x + h ) x + h x x + x + h x x + h =   - h x ( x + h ) x +   x + h x x + h

Certo, agora devolvemos esse valor para o numerador:

l i m h → 0 - h x ( x + h ) x +   x + h x x + h . h     ,   pela propriedade de frações: b c a =   b c . a , iremos fazer o seguinte:

l i m h → 0 - h x x + h x +   x + h x x + h . h =       l i m h → 0 -   h x h + x .   x   +   x + h x x + h   .   h (II)

Encontramos o limite da expressão (II), agora parecido com o que fizemos com o numerador em (I), iremos fazer com o denominador dessa expressão (II), chamando-o de B.

B = x h + x .   x   +   x + h x x + h   .   h = x +   x + h . h + x . h x x 1 2   .   ( h + x ) 1 2 = x +   x + h . ( h + x ) 1 2 . h x 1 2

B = h x x + h + x . h + x , certo, agora vamos devolver esse valor para o denominador da expressão (II):

l i m h → 0 -   h h x x + h + x . h + x     =

l i m h → 0 -   1 x x + h + x . h + x (III)

Aplicando o limite na expressão (III):

l i m h → 0 -   1 x x + h + x . h + x = - 1 x x + 0 + x . 0 + x =   - 1 x x + x . x =   - 1 2 x x

Passo 3

Agora vamos para o segundo ponto da questão que é determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado. Então vamos primeiro lembrar a equação da reta tangente? A equação da reta tangente é a seguinte:

y - f a = m   .   ( x - a )

Onde o coeficiente angular m é, exatamente, o que a gente chama de derivada da função no ponto, mas que ponto? Para essa questão o ponto a = 1. É o mesmo que f’(a), sendo mais específico f’(1). Então vamos calcular o valor da derivada no ponto a = 1. Nós já temos a função derivada, que foi encontrada mais acima, que representamos por (II), logo, basta substituirmos o valor de x por 1.

m = f ' 1 = -   1 2 x x = -   1 2.1 1 = -   1 2.1 . 1   - 1 2

Passo 4

Achamos o valor de m, agora só aplicarmos na fórmula, junto ao ponto (a, f(a)), que são os seguintes:

  • a =   1
  • f a = f 1 = 1 1 = 1

Pronto, encontramos todos os valores necessários para substituir na equação, então vamos para a substituição e desenvolver a expressão que encontrarmos:

y - 1 =   - 1 2   . x - 1 =   - x 2 + 1 2 +   1

y =   - x 2 + 3 2

E é isso, finalizamos a questão, por fim, encontramos o valor da reta tangente.

Resposta

d) f’(x) = 1 2 x x (derivada da função encontrada pela definição);

y =   - x 2 + 3 2 (equação da reta tangente no ponto (a,f(a)) ∴ (1, 1 ) ).

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