Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' ( x 0 ) e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 ,   f x 0

f x = x + 4 x + 2 ,   x 0 = 0

Passo 1

Vamos usar a definição para calcular a derivada de f no ponto x 0 = 0 .

lim x → 0 ⁡ x + 4 x + 2 - 0 + 4 0 + 2 x - 0

lim x → 0 ⁡ x + 4 x + 2 - 2 x

lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x - 4 x + 2 x

lim x → 0 ⁡ - x x + 2 x

lim x → 0 ⁡ - x x ( x + 2 )

lim x → 0 ⁡ - 1 x + 2 = - 1 0 + 2 = - 1 2

Passo 2

A reta tangente por enquanto está assim, agora que temos a derivada no ponto 0 :

y = - 1 2 x + b

O valor da função em   x 0 = 0 é

f 0   = 0 + 4 0 + 2 = 2

Agora podemos substituir x e y na equação da reta e achar b .

2 = - 1 2 0 + b

b = 2

Logo, a equação da reta tangente a f no ponto x 0 = 0 é

y = - x 2 + 2

Resposta

f ' 0 = - 1 2

y = - 1 2 x + 2

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