Achar as soluções gerais das seguintes equações:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = x 2

Passo 1

A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e uma parte não homogênea:

y ' '   -   4 y '   +   5 y   =   x ^ 2 .

A solução geral para essa equação consiste em duas partes: a solução geral da equação homogênea correspondente e uma solução particular da equação não homogênea.

Vou orientá-lo a encontrar ambas as partes.

S o l u ç ã o   d a   E q u a ç ã o   H o m o g ê n e a :

A equação homogênea associada é:

y ' '   -   4 y '   +   5 y   =   0 .

A equação característica correspondente é:

r 2 -   4 r   +   5   =   0

Resolvendo essa equação quadrática, obtemos:

r   =   2   ±   i  

As raízes são complexas conjugadas.

A solução geral para a equação homogênea é então:

y h t =   e 2 t *   C 1   * cos ⁡ t +   C 2   * sin ⁡ t

Passo 2

S o l u ç ã o   P a r t i c u l a r   d a   E q u a ç ã o   N ã o   H o m o g ê n e a :

Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos usar o método dos coeficientes a determinar (também conhecido como método da variação das constantes).

Vamos supor que a solução particular tem a forma:

y p t =   A t * cos ⁡ t +   B t * sin ⁡ t

Substituindo essa suposição na equação não homogênea original, temos:

A ' ' * cos ⁡ t + B ' ' * sin ⁡ t - 4 * A ' * sin ⁡ t + B ' * cos ⁡ t +   5 *   A   * cos ⁡ t +   B   * sin ⁡ t =   x 2

Derivando A e B em relação a t, obtemos:

A ' = d A d t ,   B ' = d B d t

A ' ' = d 2 A d t 2 ,   B ' ' = d 2 B d t 2

Substituindo essas derivadas na equação acima e igualando os coeficientes de cos ⁡ t e sin ⁡ t a   x 2 , obtemos um sistema de equações diferenciais para A(t) e B(t).

Passo 3

S o l u ç ã o   G e r a l :

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea:

y t =   y h t +   y p t

Substituindo as expressões anteriores para y h t e y p t ,   você terá a solução geral completa da equação diferencial.

Vale lembrar que a solução particular da equação não homogênea pode ser complicada de calcular, dependendo dos detalhes do problema.

Resposta

y t =   y h t +   y p t

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2