Achar as soluções gerais das seguintes equações:

y ' ' + y = cos ⁡ x

Passo 1

A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma parte não homogênea:

y ' '   +   y   =   c o s ( x ) .

Para resolver essa equação, podemos dividir o problema em duas partes: a solução da equação homogênea associada e a busca por uma solução particular da equação não homogênea.

Solução da Equação Homogênea:

A equação homogênea associada é:

y ' '   +   y   =   0 .

A equação característica correspondente é:

r 2 +   1   =   0

Resolvendo essa equação, obtemos duas raízes complexas conjugadas:

r   =   ± i .

A solução geral da equação homogênea é então:

y h x =   C 1   * cos ⁡ x +   C 2   * sin ⁡ x

Passo 2

Solução Particular da Equação Não Homogênea:

Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos usar o método dos coeficientes a determinar. Vamos supor que a solução particular tenha a forma:

y p x =   x A cos ⁡ x +   B sin ⁡ x

Porque cos ⁡ x   já é solução da homogênea, então precisamos de alguma que seja linearmente independente mas que ainda se pareça com a parte lá do outro lado, a não homogeneidade

Derivando temos

y p ' = A cos ⁡ x +   B sin ⁡ x + x [ - A sin ⁡ x + B cos ⁡ x ]

E mais uma vez

y p ' ' = - A sin ⁡ x + B cos ⁡ x + - A sin ⁡ x + B cos ⁡ x + x - A cos ⁡ x - B cos ⁡ x

Substituindo essa suposição na equação não homogênea original, temos:

- A sin ⁡ x + B cos ⁡ x + - A sin ⁡ x + B cos ⁡ x + x - A cos ⁡ x - B cos ⁡ x + x A cos ⁡ x +   B sin ⁡ x = cos ⁡ x

Podemos simplificar e agrupar os termos semelhantes do lado esquerdo

- 2 A sin ⁡ x + B cos ⁡ x = cos ⁡ x

Por igualdade de funções temos que

A = 0

E

- 2 B = 1 → B = - 1 2

Passo 3

Solução Geral:

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea:

y x =   y h x +   y p x

          =   C 1   * cos ⁡ x +   C 2   * sin ⁡ x +   - 1 2 * cos ⁡ x

          =   C 1 - 1 2 * cos ⁡ x +   C 2   * sin ⁡ x

Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Se você tiver condições iniciais específicas, poderá determinar os valores de C1 e C2 para obter a solução particular correspondente.

Resposta

y ( x ) =   C 1 - 1 2 * cos ⁡ x +   C 2   * sin ⁡ x

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