Achar as soluções gerais das seguintes equações:

y ' ' + y = sec ⁡ x

Passo 1

A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma parte não homogênea:

y ' '   +   y   =   s e c ( x ) .

Resolver essa equação pode ser um pouco complexo devido à função secante. Para encontrar a solução particular, vamos usar o método de coeficientes a determinar.

Vou orientar você através do processo.

Solução da Equação Homogênea:

A equação homogênea associada é:

y ' '   +   y   =   0 .

A equação característica correspondente é:

r 2 +   1   =   0

Resolvendo essa equação, obtemos duas raízes complexas conjugadas:

r   =   ± i .

A solução geral da equação homogênea é então:

y h x =   C 1   * cos ⁡ x +   C 2   * sin ⁡ x

Passo 2

Solução Particular da Equação Não Homogênea:

A solução particular da equação não homogênea envolvendo secante(x) é um pouco mais complexa. Vamos supor que a solução particular seja da forma:

y p x =   A   * sec ⁡ x +   B   * tan ⁡ x

onde A e B são constantes a serem determinadas.

Substituindo essa suposição na equação não homogênea, obtemos:

A   * sec ⁡ x +   B   * tan ⁡ x +   A   * sec ⁡ x = sec ⁡ x

Igualando os coeficientes de s e c ( x ) , obtemos A   +   A   =   1 , o que nos dá A   =   1 / 2 .

Agora, derivando s e c ( x )   e   t a n ( x ) , obtemos:

s e c ' ( x )   =   s e c ( x )   *   t a n ( x )

t a n ' ( x )   =   s e c 2 ( x )

Substituindo essas derivadas, podemos igualar os coeficientes de tan(x) e resolver para B:

B   +   B   *   s e c 2 x =   0

B   *   1   +   s e c 2 x =   0

B   =   0 .

Portanto, a solução particular é:

y p x =   1 2 * sec ⁡ x

Passo 3

Solução Geral:

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução geral da equação homogênea e a solução particular da equação não homogênea:

y x =   y h x +   y p x

          =   C 1   * cos ⁡ x +   C 2   * sin ⁡ x +   1 2 * sec ⁡ x

Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Lembre-se de que a solução particular envolvendo secante(x) pode não ser uma forma totalmente simplificada, mas é a solução adequada para essa equação.

Resposta

y ( x ) =   C 1   * cos ⁡ x +   C 2   * sin ⁡ x +   1 2 * sec ⁡ x

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